Математика 10 класс ВФТШ 10-М-7

§2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргументы комплексного числа

1. Комплексная плоскость.

Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости. Каждое комплексное число z=a+ibz=a+ib задаётся парой действительных чисел (a;b)(a;b). Эта же пара чисел может рассматриваться в качестве координат точки М(a,b)М (a,b) на координатной плоскости. Поэтому каждому комплексному числу z=a+ibz = a + ib поставим в соответствие точку М(a,b)М (a,b) координатной плоскости, т. е. точку, абсцисса которой равна Rez=a\textrm{Re}\: z = a, а ордината равна Imz=b\textrm{Im}\: z = b. Обратно, каждой точке плоскости с координатами (a;b)(a;b) поставим в соответствие комплексное число z=a+biz=a+bi.

Так построено взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и точками плоскости, на которой выбрана система координат. Сама координатная плоскость называется при этом комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т. к. на ней расположены точки, соответствующие комплексным числам a+i0a + i0, т. е. действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие чисто мнимым комплексным числам 0+bi0+bi.

Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа a+bia + bi как вектора OM\vec{OM} с началом в точке O(0,0)O(0,0) и концом в точке M(a;b)M(a;b) (см. рис. 1). Так каждому вектору плоскости с началом в точке O(0,0)O(0,0) и концом в точке M(a;b)M(a;b) соответствует комплексное число a+bia + bi и наоборот. При этом нулевому вектору соответствует комплексное число 0+0i0+0i.

2. Модуль комплексного числа.

Определение

Модулем комплексного числа z=a+biz = a + bi называется длина вектора, соответствующего этому числу. Модуль обозначается |z||z| или буквой rr. Применяя теорему Пифагора, получим, что 

$$|OM|=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$  см. рис. 1.

Если z=a+0iz = a + 0i,то |z|=a2+0=|a||z| =\sqrt{a^2+0} = |a|, т. е. для действительного числа модуль совпадает с абсолютной величиной этого числа.

Очевидно, что $$|z| > 0$$ для всех z0z \neq 0; |z|=0|z| = 0 тогда и только тогда, когда z=0+0i=0z = 0 + 0i = 0.

Перечислим

основные свойства модуля комплексного числа

$$|\overline{z}|=|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$     см. рис. 2                                      (6.1)

$$z\cdot \overline{z} = a^2+b^2 = |z|^2 = |\overline{z}|^2$$    из примера 3                        (6.2)

$$|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|$$                                                                (6.3)

$$|\dfrac{z_1}{z_2}| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|},\: \text{если} \: z_2\neq 0$$                                  (6.4)

Докажем, например, (6.3).

Доказательство

Пусть z1=a+biz_1=a+bi, z2=c+diz_2=c+di. Тогда z1z2=ac-bd+(ad+bc)iz_1z_2 = ac-bd + (ad+bc)i,

|z1z2|=(ac-bd)2+(ad+bc)2=(ac)2+(bd)2-2acbd+(ad)2+(bc)2+2adbc=|z_1z_2|=\sqrt{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\sqrt{(ac)^2+(bd)^2-2acbd+(ad)^2+(bc)^2+2adbc}=

=c2(a2+b2)+d2(a2+b2)=(a2+b2)(c2+d2)=|z1|·|z2|=\sqrt{c^2(a^2+b^2)+d^2(a^2+b^2)}=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}=|z_1|\cdot |z_2|.

Используя свойства модуля, можно получить более простую формулу для деления комплексных чисел, чем (4б). Число 1z\dfrac{1}{z} запишем в виде:

1z=z¯z·z¯=z¯|z|2\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{z\cdot \overline{z}} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2}.

Тогда 

$$\dfrac{z_1}{z_2}=z_1(\dfrac{1}{z_2})=\dfrac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2},\:\text{при}\: z_2 \neq 0.$$ (7)

Формула (7) сводит операцию деления комплексных чисел z1z_1 и z2z_2 к умножению чисел z1z_1 и z¯2 \overline{z}_2 и делению этого произведения на действительное число |z2|2|z_2|^2.

Пример 4

Найдите частное 2-3i-1+5i\dfrac{2-3i}{-1+5i}.

Решение

По формуле (7) имеем: 

2-3i-1+5i=(2-3i)(-1-5i)|-1+5i|2=-2+15i2+3i-10i12+52=-1726-726i\dfrac{2-3i}{-1+5i} = \dfrac{(2-3i)(-1-5i)}{|-1+5i|^2}=\dfrac{-2+15i^2+3i-10i}{1^2+5^2}=-\dfrac{17}{26}-\dfrac{7}{26}i.

3. Геометрический смысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел.

Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом операции сложения и вычитания чисел получают простое геометрическое толкование. Так, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их действительные и мнимые части: z=z1+z2=z+bi+c+di=a+c+(b+d)iz=z_1+z_2=z+bi+c+di=a+c+(b+d)i. Так же выполняется и операция сложения векторов OM1(a,b)\vec{OM_1(a,b)} и OM2(c,d)\vec{OM_2}(c,d): OP=OM1+OM2=(a+c,b+d)\vec{OP}=\vec{OM_1}+\vec{OM_2}=(a+c,b+d). Иначе: если числу z1z_1 соответствует вектор OM1\vec{OM_1}, а числу z2z_2 - вектор ОМ2\vec{ОМ_2}, то числу z1+z2z_1+z_2 соответствует вектор ОМ1+ОМ2\vec{ОМ_1}+\vec{ОМ_2} (см. рис. 3). Это же относится и к разности комплексных чисел z1z_1 и z2z_2: z=z1-z2=a-c+(b-d)iz=z_1-z_2=a-c+(b-d)i и M2M1=OM1-OM2=(a-c,b-d)\vec{M_2M_1}=\vec{OM_1}-\vec{OM_2}=(a-c,b-d), т. е. числу z1-z2z_1-z_2 соответствует вектор M2M1=OM1-OM2\vec{M_2M_1}=\vec{OM_1}-\vec{OM_2}. При этом число |z1-z2||z_1-z_2| есть, по определению модуля, длина вектора z1-z2z_1-z_2. (На рис. 3 |z1-z2||z_1-z_2| есть длина вектора M1M2\vec{M_1M_2}). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам. Теперь, используя геометрический смысл операций с комплексными числами, решим следующие задачи. 

Пример 5

Найдите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

а) |z-i|=1;|z-i|=1;\: б) $$1<|z+3+i|<3;\:$$ в) |z-2+i||z+3-4i|;|z-2+i| \geq |z+3-4i|;\:

г) |z2|-6z-6z¯=0;|z^2|-6z-\overline{6z}=0;\: д) |z-1|=2|z+2||z-1|=2|z+2|.

Решение

а) Условию |z-i|=1|z-i|=1 удовлетворяют те точки комплексной плоскости, которые удалены от точки ii на расстояние, равное `1`. Такие точки лежат на окружности радиуса `1` с центром в точке ii (см. рис. 4).

б) Здесь |z+3+i|=|z-(-3-i)||z+3+i|=|z-(-3-i)|. Условию $$1<|z+3+i|<3$$ удовлетворяют те точки комплексной плоскости, которые удалены от точки (3,i)(–3, – i) на расстояние, большее `1`, но меньшее `3`.  Такие точки расположены внутри кольца, образованного двумя концентрическими окружностями с центром в точке (3,1)(–3, – 1) и радиусами R1=1R_1=1, R2=3R_2=3. (рис. 5). Искомое множество заштриховано.

в) Рассмотрим сначала равенство |z-2+i|=|z+3-4i||z-2+i|=|z+3-4i|. Перепишем его в виде |z-(2-i)|=|z-(-3+4i)||z-(2-i)|=|z-(-3+4i)|, т. е. расстояние от точки zz до точки z1=2-iz_1 = 2-i равно расстоянию от точки zz до точки z2=-3+4iz_2=-3+4i. Из геометрии известно, что это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки M1(2;-1)M_1(2;-1) и M2(-3;4)M_2(-3;4). На рис. 6 это прямая ll . Тогда точки, удовлетворяющие неравенству |z-2+i||z+3-4i||z-2+i|\geq |z+3-4i|, лежат на плоскости ближе к точке М2М_2, чем к точке М1М_1, т. е. на прямой ll или выше неё. 

г) Пусть z=x+iyz=x+iy. Тогда равенство |z|2-6z-6z¯=0|z|^2-6z-6\overline{z}=0 примет вид x2+y2-6(x+iy)-6(x-iy)=0x^2+y^2 -6(x+iy) - 6(x-iy) =0. Отсюда x2+y2-12x=0x^2+y^2-12x=0 или (x-6)2+y2=36(x-6)^2+y^2=36. Это уравнение окружности с центром в точке М(6;0)М(6; 0) и радиусом R=6R = 6 (см. рис. 7).

д) Пусть z=x+iyz=x+iy. Тогда 

|x-1+iy|=2|x+2+iy|(x-1)2+y2=2(x+2)2+y2|x-1+iy|=2|x+2+iy| \Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^2+y^2} = 2\sqrt{(x+2)^2+y^2} \Leftrightarrow

x2-2x+1+y2=4(x2+4x+4+y2)3x2+18x+3y2+15=0 \Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2=4(x^2+4x+4+y^2) \Leftrightarrow 3x^2+18x+3y^2+15=0 \Leftrightarrow

x2+6x+y2+5=0(x+3)2+y2=4x^2+6x+y^2+5=0 \Leftrightarrow (x+3)^2+y^2=4.

Это окружность с центром в точке M(-3;0)M(-3;0) и радиусом `2` (см. рис. 8). Т. е. точки лежат на окружности радиуса 2 с центром в точке z=-3z = -3.

4. Аргументы комплексного числа.

Аргументом комплексного числа z=a+biz = a + bi ( z0z \neq 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором z=OM(а,b)z = \vec{OM}(а,b), величина угла считается положительной, если отсчёт угла производится против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчёт производится по часовой стрелке. Для числа z=0z = 0 аргумент не определён.

Для обозначения того, что число φ\varphi является аргументом числа z=a+biz=a+bi, пишут φ=argz\varphi = \textrm{arg} z или φ=arg(a+bi)\varphi = \textrm{arg} (a+bi). (См. рис. 9).

Заметим, что заданием модуля и аргумента комплексное число  z=a+biz=a+bi определяется однозначно. Пусть |OM|=r|\vec{OM}|=r, тогда a=Rez=rcosφa = \textrm{Re} z = r \textrm{cos} \varphi и b=Imz=rsinφb = \textrm{Im} z = r \textrm{sin} \varphi

С другой стороны, если задано комплексное число, то модуль этого числа всегда определён однозначно, в отличие от аргумента, который определяется неоднозначно: если φ\varphi - некоторый аргумент числа zz, то углы φ+2πk,k\varphi + 2\pi k,\: k \in \mathbb{Z} являются аргументами того же числа zz. Например, аргументами числа (1-i)(1-i) являются углы -π4,7π4,15π4-\dfrac{\pi}{4},\: \dfrac{7\pi}{4},\: \dfrac{15\pi}{4} и т. д. (см. рис. 10).

Таким образом, для каждого числа z0z \neq 0 имеется бесконечное множество аргументов, любые два из которых отличаются друг от друга на число, кратное 2π2\pi.

Если комплексное число zz задано в алгебраической форме: z=a+biz = a + bi и φ=argz\varphi = \textrm{arg} z, то справедливы равенства (см. рис. 9):

$$\begin{cases} \textrm{cos} \varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\\ \textrm{sin} \varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \textrm{cos} \varphi = \dfrac{a}{|z|},\\ \textrm{sin} \varphi = \dfrac{b}{|z|}. \end{cases} $$ (8)

Из (8) также следует: если φ=arg(a+bi)\varphi = \textrm{arg} (a+bi), a0a \neq 0, то tgφ=ba\textrm{tg} \varphi = \dfrac{b}{a}

При решении задач на нахождение аргумента конкретного комплексного числа z=a+biz = a + bi удобно использовать геометрическую интерпретацию комплексного числа zz для определения той четверти, где находится точка z=a+biz = a + bi, а затем воспользоваться одним из уравнений (8). Заметим, что аргументы чисел zz и z¯\overline{z}z0z \neq 0,  связаны соотношением argz¯=-argz\textrm{arg} \overline{z} = - \textrm{arg} z (см. рис. 2).

Пример 6

Найдите аргументы числа

а) z1=-1+3i;z_1=-1+\sqrt{3}i;\: б) z2=-1-iz_2=-1-i.

Решение

а) Так как $$\textrm{Re} z_1 = -1 < 0,\:\:\:$$ $$\textrm{Im} z_1 = \sqrt{3} > 0$$, то точка z1=-1+3iz_1=-1+\sqrt{3}i лежит во II четверти. Поэтому надо найти решение одного из уравнений (8), которое является углом II четверти. Получаем 

cosφ=-112+(-3)2=-12,φ=2π3+2πk,k\textrm{cos} \varphi = \dfrac{-1}{1^2+(-\sqrt{3})^2} = -\dfrac{1}{2},\: \varphi = \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\: k \in \mathbb{Z}

б) Здесь $$\textrm{Re} z_2 = -1 < 0,\:\:\:$$ $$\textrm{Im} z_2 = -1 < 0$$, т. е. точка z2=-1-iz_2=-1-i лежит в III четверти (см. рис.). Следовательно, надо найти такое решение уравнения cosφ=-1(-1)2+(-1)2=-12\textrm{cos} \varphi = \dfrac{-1}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}}=\dfrac{-1}{\sqrt{2}} или tgφ=-1-1=1\textrm{tg} \varphi = \dfrac{-1}{-1} = 1, которое является углом III четверти. Получаем φ2=5π4+2πk,k\varphi_2 = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k,\: k \in \mathbb{Z}

Заметим, что если a=0a=0, (тогда z=biz = bi), то либо argz=π2+2πk,k\textrm{arg} z = \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\: k \in \mathbb{Z} (если $$b > 0$$), либо argz=3π2+2πk,k\textrm{arg} z = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k,\: k \in \mathbb{Z} (если $$b < 0$$).