Математика 10 класс 10-М-1

Уравнения вида `sqrt{f(x)}=sqrt{g(x)}`

В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт равносильное в ОДЗ уравнение `f(x)=g(x)`. Поэтому 


f(x)=g(x)f(x)0,f(x)=g(x)g(x)0,f(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x)\geq0,\\f(x)=g(x)\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x)\geq0,\\f(x)=g(x).\end{array}\right.\right. (УРК2)

Пример 18

Найдите сумму квадратов всех корней уравнения x2-3x=4x-10\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{4x-10}.

Решение

x2-3x=4x-104x-100,x2-3x=4x-102x5,x2-7x+10=0x=7±32 x=5  x2=25.\begin{array}{l}\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{4x-10}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4x-10\geq0,\\x^2-3x=4x-10\end{array}\right.\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2x\geq5,\\x^2-7x+10=0\Leftrightarrow x=\dfrac{7\pm3}2\end{array}\right.\Leftrightarrow\;x=5\;\Rightarrow\;x^2=25.\end{array}

Ответ

`25`.

При таком способе решения достаточно проверить неотрицательность одной из функций – можно выбрать более простую функцию.

Рекомендация

При решении уравнений ОДЗ пишем, но не находим, т. к. решение неравенств, определяющих ОДЗ, часто требует даже больше усилий, чем решение самого уравнения. Поэтому не надо тратить на это время.

1. Если при решении уравнения использовались только равносильные преобразования, то найденные корни достаточно подставить в ОДЗ. Если они принадлежат ОДЗ, то являются решениями уравнения.

2. Если при решении уравнения не следить за равносильностью преобразований, то после нахождения корней надо сделать проверку. Можно сначала подставить их в ОДЗ – если они не принадлежат ОДЗ, то не являются решениями уравнения, но, если принадлежат ОДЗ, то это ещё не значит, что они являются решениями уравнения – их надо теперь подставить в само уравнение.

Это была рекомендация, полезная при решении большинства уравнений, но, конечно, бывают исключения, когда изучение ОДЗ сразу приводит к решению.