Все статьи

Подкатегории

Новости

315 статей

О Физтехе

1 подкатегорий

16 статей

Факультеты и базовые кафедры

1 подкатегорий

11 статей

Московский политех

2 подкатегорий

22 статей

ЗФТШ Физика

188 статей

ЗФТШ Химия

95 статей

Разное

20 статей

Статьи

  • Сводка полезных формул по геометрии

    Формулы площади треугольника:

    S=12ah (a - основание, h - высота к a);S=12ab*sinC (a, b - стороны, С - угол между ними);S=p(p-a)(p-b)(p-c) (формула Герона, 2p=a+b+c);S=pr (p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности);S=abc4R (R - радиус описанной окружности);S=(p-a)ra (p - полупериметр, ra - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны а)\begin{array}{l}S=\frac12ah\;(a\;-\;основание,\;h\;-\;высота\;к\;a);\\S=\frac12ab\ast\sin C\;(a,\;b\;-\;стороны,\;С\;-\;угол\;между\;ними);\\S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\;(формула\;Герона,\;2p=a+b+c);\\S=pr\;(p\;-\;полупериметр,\;r\;-\;радиус\;вписанной\;окружности);\\S=\frac{abc}{4R}\;(R\;-\;радиус\;описанной\;окружности);\\S=(p-a)r_a\;(p\;-\;полупериметр,\;r_a\;-\;радиус\;\\вневписанной\;окружности,\;касающейся\;стороны\;а)\end{array}

    Формулы площади трапеции:

    S=a+b2h (a, b - основания, h - высота);S=c*m (c - боковая сторона, m - расстояниедо нее от середины другой боковой стороны )\begin{array}{l}S=\frac{a+b}2h\;(a,\;b\;-\;основания,\;h\;-\;высота);\\S=c\ast m\;(c\;-\;боковая\;сторона,\;m\;-\;расстояние\\до\;нее\;от\;середины\;другой\;боковой\;стороны\;)\end{array}

    Формулы площади параллелограмма:

    S=ah (a -сторона, h - высота к а)S=ab*sinα (a, b - стороны, α - величина угла между ними)\begin{array}{l}S=ah\;(a\;-сторона,\;h\;-\;высота\;к\;а)\\S=ab\ast\sin\alpha\;(a,\;b\;-\;стороны,\;\alpha\;-\;величина\;угла\;между\;ними)\end{array}

    Формула площади выпуклого четырёхугольника:

    S=12d1d2sinφ (d1, d2 - диагонали, φ - угол между ними) S=\frac12d_1d_2\sin\varphi\;(d_1,\;d_{2\;}-\;диагонали,\;\varphi\;-\;угол\;между\;ними)\;

    Формула параллелограмма:

    d12+d22=2(a2+b2) (a, b - стороны, d1, d2 - диагонали)d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)\;(a,\;b\;-\;стороны,\;d_1,\;d_2\;-\;диагонали)

    Формула медианы треугольника через 3 стороны:

    mc2=a2+b22-c24m_c^2=\frac{a^2+b^2}2-\frac{c^2}4

    Формула биссектрисы ADAD треугольника ABC:ABC:

    1) AD=2bcb+ccosA2, b=AC, c=AB;2) AD=bc-xy, (x=BD, y=DC, xy=cb);\begin{array}{l}1)\;AD=\frac{2bc}{b+c}\cos\frac A2,\;\left(b=AC,\;c=AB\right);\\2)\;AD=\sqrt{bc-xy},\;(x=BD,\;y=DC,\;\frac xy=\frac cb);\end{array}

    Формула для равнобокой трапеции:

    d2=c2+ab (a, b - основания, с - боковая сторона, d - диагональ)\begin{array}{l}d^2=c^2+ab\;(a,\;b\;-\;основания,\;\\с\;-\;боковая\;сторона,\;d\;-\;диагональ)\end{array}

  • §4. Теоремы косинусов и синусов. Применение тригонометрии к решению геометрических задач

    Как обычно, в треугольнике ABCABC стороны, противолежащие углам A, B u C,A,\;B\;u\;C,  обозначим a,b u ca,b\;u\;c соответственно. Справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника, утверждения которых можно кратко записать так:

    теорема  косинусов: c2=a2+b2-2abcosC;c^2=a^2+b^2-2ab\cos C;

    теорема синусов:  asinA=bsinB=csinC=2R.\frac a{\sin A}=\frac b{\sin{\displaystyle B}}=\frac c{\sin{\displaystyle C}}=2R.

    Покажем на примерах, как применяются эти теоремы.

    Пример 12
    Рис. 26

    Доказать,  что  в  параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

    Решение

    Δ  Пусть  в  параллелограмме ABCDABCD (рис. 26) длины сторон  равны a u b,a\;u\;b, длины  диагоналей  равны d1 u d2: AC=d2, AB=DC=a, BD=d1.d_1\;u\;d_2:\;AC=d_2,\;AB=DC=a,\;BD=d_1.

    Если φ=BAD,\varphi=\angle BAD, то ADC=180°-φ.\angle ADC=180^\circ-\varphi. Из треугольников ABDABD и ACDACD по   теореме  косинусов   будем  иметь:

    d12=a2+b2-2abcosφ, d22=a2+b2-2abcos(180°-φ).d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\varphi,\;d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos(180^\circ-\varphi).

     Складывая  почленно эти  равенства  и  учитывая, что cos(180°-φ)=-cosφ,\cos(180^\circ-\varphi)=-\cos\varphi, получим требуемое равенство: d12+d22=2a2+2b2d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2

    следствие
    Рис. 26

    Из решения данной задачи легко получить выражение медианы mcm_c треугольника через его  стороны a, ba,\;b и  cc. Пусть  в  ABD: AB=a, AD=b, BC=c, AM - медиана. AM=mc\begin{array}{l}\bigtriangleup ABD:\;AB=a,\;AD=b,\;\\BC=c,\;AM\;-\;медиана.\;AM=m_c\end{array}  (рис. 26). Достроим этот треугольник ABDABD до параллелограмма ABCDABCD и воспользуемся результатом задачи 11, получим:

    c2+2mc2=2a2+2b2mc=a2+b22-c24.c^2+\left(2m_c\right)^2=2a^2+2b^2\Rightarrow m_c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}2-\frac{c^2}4}.

    Пример 13
    Рис. 27

    На стороне ADAD ромба ABCDABCD взята точка MM, при этом MD=310AD, BM=MC=11.MD=\frac3{10}AD,\;BM=MC=11. Найти площадь треугольника BCM.BCM.

    Решение

    Δ 1. Обозначим длину стороны ромба x, BAD=φ x,\;\angle BAD=\varphi\;(рис. 27). По условию MD=310xAM=710x.MD=\frac3{10}x\Rightarrow AM=\frac7{10}x.  Из треугольников ABMABM и  MCDMCD по теореме  косинусов получаем:

    BM2=x2+710x2-2x710xcosφ; MC2=x2+310x2-2x310xcos(180°-φ).BM^2=x^2+\left(\frac7{10}x\right)^2-2x\frac7{10}x\cos\varphi;\;MC^2=x^2+\left(\frac3{10}x\right)^2-2x\frac3{10}x\cos(180^\circ-\varphi).

    Приравниваем правые части (по условию BM=MCBM=MC), подставляем cos(180°-φ)=-cosφ,\cos(180^\circ-\varphi)=-\cos\varphi, сокращаем на x2,x^2, приводим подобные члены и получаем cosφ=15.\cos\varphi=\frac15. Подставляя найденное значение cosφ\cos\varphi и BM=11BM=11 в первое равенство, находим x=10.x=10..

    2. В равнобедренном треугольнике bmcbmc основание равно 10, находим высоту MKMK:

    MK=BM2-BK2=BM2-14BC2=96,MK=\sqrt{BM^2-BK^2}=\sqrt{BM^2-\frac14BC^2}=\sqrt{96},

    тогда  площадь  треугольника  равна 12BC*MK=206.\frac12BC\ast MK=20\sqrt6. ▲

    Пример 14
    Рис. 28

    В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC)ABC\;(AB=BC) проведена      биссектриса ADAD (рис. 28). Найти радиус описанной около треугольника ABCABC окружности, если  AD=4AD=4 и DC=6.DC=\sqrt6.

    Решение

    Δ 1. Углы при основании ACAC в треугольнике ABCABC равны, обозначим BAC=2α,\angle BAC=2\alpha, тогда DAC=α.\angle DAC=\alpha. По теореме синусов из треугольника  ADCADC следует 4sin2α=6sinαcosα=23.\frac4{\sin2\alpha}=\frac{\sqrt6}{\sin{\displaystyle\alpha}}\Rightarrow\cos\alpha=\sqrt{\frac23.}. Находим: cos2α=2cos2α-1=13 u sin2α=223.\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=\frac13\;u\;\sin2\alpha=\frac{2\sqrt2}3.

    2. Вычисляем   сторону ACAC:

    AC=AK+KC=ADcosα+DCcos2α=536.AC=AK+KC=AD\cos\alpha+DC\cos2\alpha=\frac53\sqrt6.

    3. Как следует из теоремы синусов, радиус RR описанной около треугольника  окружности может быть найден из равенства: 

    R=AC2sinBR=AC2sin(180°-4α)=AC4sin2α*cos2α=1583.R=\frac{AC}{2\sin B}\Rightarrow R=\frac{AC}{2\sin(180^\circ-4\alpha)}=\frac{AC}{4\sin2\alpha\ast\cos2\alpha}=\frac{15}8\sqrt3.

    В решении следующих задач существенно используется знание тригонометрических тождеств, умение решать тригонометрические уравнения. Подобные задачи не рассматривались в заданиях 9 – 10 классов, поскольку большинство учащихся в то время не обладало знаниями по тригонометрии в достаточном объёме.

    В этих задачах в качестве неизвестной выбирается некоторый угол и по данным задачи и известным метрическим соотношениям составляется тригонометрическое уравнение или система уравнений. Их составление  и  решение является основным   этапом всего решения задачи, а искомые  элементы  определяются  через значения тригонометрических функций введённого угла.

    Пример 15
    Рис. 29

    Точки KK и MM расположены соответственно на стороне BCBC и высоте BDBD остроугольного треугольника ABC.ABC. Треугольник AMKAMK - равносторонний  (рис. 29). Найти его площадь, если AD=3, DC=112, BK:KC=10:1.AD=3,\;DC=\frac{11}2,\;BK:KC=10:1.   

    Решение

    Обозначим сторону правильного треугольника AMKAMK  через x, KAC=φx,\;\angle KAC=\varphi  (рис. 29). Пусть FK||AC, KNAC.FK\vert\vert AC,\;KN\perp AC. Из подобия треугольников  CKNCKN и CBDCBD  следует NC=111DC=12.NC=\frac1{11}DC=\frac12. Тогда DN=5, AN=8.DN=5,\;AN=8.

     2. Заметим, что FKA=φ, MKF=π3-φ.\angle FKA=\varphi,\;\angle MKF=\frac{\mathrm\pi}3-\varphi.  Из прямоугольных треугольников  AKNAKN и  MKFMKF следует:

    AN=AKcosφ, FK=MKcos(π3-φ)8=xcosφ, 5=xcos(π3-φ).AN=AK\cos\varphi,\;FK=MK\cos(\frac{\mathrm\pi}3-\varphi)\Rightarrow8=x\cos\varphi,\;5=x\cos(\frac{\mathrm\pi}3-\varphi). Из тригонометрического  уравнения   получаем

    cosφ=43sinφ, tgφ=143.\cos\varphi=4\sqrt3\sin\varphi,\;tg\varphi=\frac1{4\sqrt3}.

    3. По формуле cosφ=11+tg2φ\cos\varphi=\frac1{\sqrt{1+tg^2\varphi}} находим  cosφ=437, x=8cosφ=143.\cos\varphi=\frac{4\sqrt3}7,\;x=\frac8{\cos\varphi}=\frac{14}{\sqrt3}.  Площадь правильного  треугольника со стороной xx равна x234SAMK=4933.\frac{x^2\sqrt3}4\Rightarrow S_{AMK}=\frac{49\sqrt3}3. ▲

    Обратим внимание, что в этой задаче один треугольник повёрнут относительно другого. В качестве промежуточной переменной и был введён этот угол поворота.

    Пример 16
    Рис. 30

    Окружность проходит через вершины AA и BB  треугольника  ABC,ABC, пресекает стороны BCBC и ACAC в точках MM и NN соответственно (рис. 30). Известно, что AB=4, MN=2, ACB=arcsin35.AB=4,\;MN=2,\;\angle ACB=arc\sin\frac35. Найти радиус окружности.                                                                                

    Решение

    Δ 1. Обозначим ACB=φsinφ=35, φ -\angle ACB=\varphi\Rightarrow\sin\varphi=\frac35,\;\varphi\;- острый угол, cosφ=45.\cos\varphi=\frac45.

    Надо  найти  радиус окружности, поэтому разумно ввести вписанный угол: NMB=α.\angle NMB=\alpha. Угол ANBANB - внешний  для треугольника BNC,BNC, поэтому  ANB=α+φ.\angle ANB=\alpha+\varphi.

    2. Если RR - радиус окружности, тоAB=2Rsin(α+φ), MN=2Rsinα AB=2R\sin(\alpha+\varphi),\;MN=2R\sin\alpha\; получаем систему:

    4=2Rsin(α+φ)2=2Rsinα2sinα=sin(α+φ)\left\{\begin{array}{l}4=2R\sin(\alpha+\varphi)\\2=2R\sin\alpha\end{array}\right.\Rightarrow2\sin\alpha=\sin(\alpha+\varphi).

    Так как sin(α+φ)=sinα*cosφ+sinφ*cosα=45sinα+35cosα,\sin(\alpha+\varphi)=\sin\alpha\ast\cos\varphi+\sin\varphi\ast\cos\alpha=\frac45\sin\alpha+\frac35\cos\alpha, то уравнение приводится к виду

    10sinα=4sinα+3cosαtgα=12.10\sin\alpha=4\sin\alpha+3\cos\alpha\Rightarrow tg\alpha=\frac12.

    3. Находим:sinα=tgα1+tg2α=15R=MN2sinα=5.\sin\alpha=\frac{tg\alpha}{\sqrt{1+tg^2\alpha}}=\frac1{\sqrt5}\Rightarrow R=\frac{MN}{2\sin\alpha}=\sqrt5.

    Важное замечание. В задаче 15 угловая величина была задана значением arcsin35.arc\sin\frac35. По определению функции y=arcsinxy=arc\sin x это означало, что заданный угол острый и sinφ=35.\sin\varphi=\frac35. Мы заменили условие φ=arcsin35\varphi=arc\sin\frac35  равносильным ему. Аналогично следует поступать во всех задачах, условия которых содержат значения обратных тригонометрических функций для величин углов. Например, если угол задан в виде α=π-arccos23,\alpha=\pi-arc\cos\sqrt{\frac23},  то это означает, что α\alpha - тупой угол,  cosα=-23 , sinα=13\cos\alpha=-\sqrt{\frac23\;},\;\sin\alpha=\frac1{\sqrt3} и могут быть найдены, если окажется необходимым, значения  cos2α, sinα2\cos2\alpha,\;\sin\frac\alpha2 и т. п.

    Некоторые учащиеся, проводя решение задачи в общем виде и подставляя числовые данные лишь в конце (что, заметим, обычно делает решение громоздким), получают, например, ответ для длины стороны в виде α=3sin(2arccos13).\alpha=3\sin(2arc\cos\frac1{\sqrt3}). Если далее это значение не записано в виде a=22,a=2\sqrt2,  то решение не считается доведённым до конца. Т. е. ответ задачи, когда угловая величина задана значением обратной тригонометрической функции, не должен содержать значения тригонометрических и обратных тригонометрических функций (если только сама искомая величина не является углом).

    В заключение параграфа решим задачу об определении угла треугольника. Обратим внимание, что решение требует отбора в соответствии с условием задачи.

    Пример 17
    Рис. 31

    В треугольнике ABCABC высота BD,BD, медиана CMCM и биссектриса  AKAK пересекаются в точке O.O. (рис. 31).  Найти угол A,A, если   известно, что он больше 60°60^\circ и  AM=3OM.AM=\sqrt3OM.                                                                

    Решение

    Δ 1. Обозначим 

    AM=xAB=2x, BAC=2α, AO=y.AM=x\Rightarrow AB=2x,\;\angle BAC=2\alpha,\;AO=y.

    Из прямоугольных треугольников AODAOD и ABDABD имеем: AD=ycosα, AD=2xcos2αy=2xcos2αcosα.AD=y\cos\alpha,\;AD=2x\cos2\alpha\Rightarrow y=\frac{2x\cos2\alpha}{\cos\alpha}.

    2. Применяем теорему косинусов к треугольнику AMO,AMO, учитывая, что MO2=13x2: x23=x2+y2-2xycosα.MO^2=\frac13x^2:\;\frac{x^2}3=x^2+y^2-2xy\cos\alpha.

     Подставляем выражение для  yy, сокращаем на x2,x^2, приводим уравнение к виду:2cos2α+12cos22α-12cos2α*cos2α=0.2\cos^2\alpha+12\cos^22\alpha-12\cos2\alpha\ast\cos^2\alpha=0.

      Используем тождество: 2cos2α=1+cos2α,2\cos^2\alpha=1+\cos2\alpha,  получаем уравнение:

    6cos22α-5cos2α+1=0cos2α=13, cos2α=12.6\cos^22\alpha-5\cos2\alpha+1=0\Rightarrow\cos2\alpha=\frac13,\;\cos2\alpha=\frac12.

    3. По условию: 2α=BAC, 2α > π3 cos2α < 12 cos2α=cosA=13, A=arccos13.2\alpha=\angle BAC,\;2\alpha\;>\;\frac{\mathrm\pi}3\;\Rightarrow\cos2\alpha\;<\;\frac12\;\Rightarrow\cos2\alpha=\cos A=\frac13,\;\angle A=arc\cos\frac13.   ▲


  • § 5. Рисунок в геометрической задаче

    В заключении остановимся на ещё  не обсуждавшийся в этом задании вопросе о роли рисунка в решении геометрических задач.

    Некоторые учащиеся и абитуриенты ограничиваются небрежным мелким рисунком, на котором даже трудно разобрать, какие обозначения к чему относятся, какие прямые перпендикулярны или параллельны, в каких точках имеет место касание и т. п. Кое-кому из них всё же удаётся верно решить задачу, но в большинстве случаев, особенно в задачах, требующих ряда шагов рассуждений и вычислений, такой рисунок скорее мешает решению, а не способствует успеху.

    Рисунок в геометрической задаче – это удобный для восприятия наглядный способ записи условий задачи, фиксирующий и удерживающий внимание решающего, он даёт повод к размышлению и может стать помощником в решении задачи, подсказать правильный путь в поисках решения. (Посмотрите, например, на рис. 27, 28, 29). Именно поэтому к построению рисунка полезно относиться вдумчиво. Сначала, чтобы понять задачу, её условия переводят на геометрический язык: делают от руки небольшой предварительный рисунок и отмечают на нём (если таковые есть) равные углы, пропорциональность отрезков, перпендикулярность и т. п. И лишь обдумав, как надо изменить рисунок, чтобы он соответствовал условиям задачи, делают аккуратный и достаточно большой рисунок, чтобы на нём уместились все введённые обозначения углов, отрезков и данные задачи. В ряде случаев «хороший» рисунок получается не с первой попытки и при его построении уже начинается процесс решения задачи, так как используются определения и известные геометрические факты относительно входящих в условие задачи элементов геометрической конфигурации.

    Когда словами записываются геометрические свойства входящих в задачу элементов, устанавливаются метрические соотношения типа  AB=AK+KB, AK=PQAB=AK+KB,\;AK=PQ и т. п., проводятся некоторые вычисления, то охватить их взглядом, увидеть в целом, сделать нужный вывод бывает совсем непросто, а вот увидеть на рисунке след собственных рассуждений и не терять этого из виду обычно удаётся.

    Мы говорим о работе с рисунком в процессе поиска решения. При окончательном изложении решения задачи каждое заключение должно быть обосновано (чаще всего ссылками на известные теоремы курса, реже – дополнительным доказательством). Сам по себе рисунок, даже самый аккуратный, выполненный циркулем и линейкой, ничего не доказывает, всё, что «увидено» из чертежа, должно иметь логическое обоснование.

    И ещё одно замечание. Если задача не получается, «упирается», не достаёт ещё какого-то одного соотношения, связи элементов – вернитесь к условию задачи и вновь обсудите каждый входящий в него геометрический элемент. Скорее всего, вами использованы не все их свойства, сделаны не все возможные выводы.

    Поясним наши рассуждения о рисунке и работе с ним примерами решения двух задач олимпиад МФТИ.

    Пример 18

    Продолжения медиан AEAE и CFCF треугольника ABCABC (рис. 32) пересекают описанную около него окружность в точках DD и NN соответственно так, что AD:AE=2:1AD:AE=2:1 и CN:CF=4:3.CN:CF=4:3. Найти углы треугольника.

    Рис. 32
    Решение

    Δ Делаем предварительный рисунок (кстати, его удобнее всего рисовать, начиная с окружности), отмечаем, что BE=EC, ED=AEBE=EC,\;ED=AE (это следует из условия AD=2AEAD=2AE). Две хорды BCBC и AD,AD, пересекаясь, делятся пополам. По свойству  пересекающихся хорд AE*DE=BE*CEAE*DE=BE*CE откуда следует, что AE=BE=DE=CE.AE=BE=DE=CE. Точка EE одинаково удалена от точек A, B, C, DA,\;B,\;C,\;D окружности, значит  точка  EEцентр окружности. Отсюда  следует, что BCBC и ADAD - диаметры, и  A\angle A - прямой (опирается на диаметр). Поскольку далее должна рассматриваться медиана AE,AE,  а нами установлено, что AE=DE=BE=CE,AE=DE=BE=CE, то удобно ввести обозначение AE=R.AE=R.

    Рис. 33


    Обсудим следующие условия задачи: FN=13FC.FN=\frac13FC. Обозначим FN=x,FN=x, тогда FC=3x.FC=3x. Наконец обратим внимание, что в задаче есть две медианы треугольника, значит надо воспользоваться свойством медиан: пересекаясь, они делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Итак, если обозначить через OO точку пересечения медиан, то

    AO=23R, CO=2x, OF=x.AO=\frac23R,\;CO=2x,\;OF=x.

    Выполняем хороший большой рисунок с учётом всех установленных фактов. Посмотрим внимательно на рис. 33 и подумаем, может быть, еще что-то можно установить? Да! Хорда CN,CN, пересекая диаметр AD,AD, делится пополам, значит  CNAD.CN\perp AD. Отразим и этот последний факт.

    Теперь решение.

    1. По свойству пересекающихся хорд:

    AO*OD=CO*ON23R43R=4x2x2=29R2.AO\ast OD=CO\ast ON\Rightarrow\frac23R\frac43R=4x^2\Rightarrow x^2=\frac29R^2.

    2. Из прямоугольного треугольника COACOA по теореме Пифагора:

    AC=2x2+23R2=23R.AC=\sqrt{\left(2x\right)^2+\left(\frac23R\right)^2}=\frac2{\sqrt3}R.

    3. Из прямоугольного треугольника ABCABC находим:

    sinB=ACBC=13.\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac1{\sqrt3}.

    Ответ: A=π2, B=arcsin13, C=π2-arcsin13.\angle A=\frac{\mathrm\pi}2,\;\angle B=arc\sin\frac1{\sqrt3},\;\angle C=\frac{\mathrm\pi}2-arc\sin\frac1{\sqrt3}.

    Пример 19

    Длина стороны ромба ABCDABCD равна 4. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABDABD и ACD,ACD, равно 3. Найти радиусы окружностей.

    Решение

    Δ Строим первый пробный рисунок (рис. 34) и начинаем рассуждать.

    Рис. 34

    Поскольку в условии задачи задано расстояние между центрами, то необходимо установить их положение. Будем помнить, что четырёхугольник ABCDABCD - ромб, характеризующее его свойство – диагонали, пересекаясь, делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Центр окружности, описанной около треугольника, есть точка пересечения серединных   перпендикуляров  к  его  сторонам. Треугольники ABDABD и ACDACD имеют общую сторону AD,AD, следовательно, оба центра  лежат на серединном перпендикуляре отрезка AD.AD. 

    Кроме того, центр  O1O_1 окружности, описанной около треугольника ABD,ABD, лежит на прямой ACAC (это серединный перпендикуляр отрезка BDBD), а центр  O2O_2 окружности,  описанной около треугольника ACD,ACD, лежит на прямой BDBD (это серединный перпендикуляр отрезка ACAC). Итак, центры окружностей – это точки пересечения серединного перпендикуляра отрезка ADAD с прямыми ACAC и BD.BD.

    Рис. 35

    Вот теперь строим новый рисунок, на который наносим также числовые данные задачи. Обратим внимание, что окружности рисовать уже нет необходимости.

    Обозначим AO1=R1,DO2=R2AO_1=R_1, DO_2=R_2 и, поскольку имеем несколько подобных треугольников, вводим ещё угол MAO1=α.\angle MAO_1=\alpha. Записываем вполне очевидные выводы:

    1.AO1M: M=90°, MAO1=α 2=R1cosα, O1M=R1sinα;1.\bigtriangleup AO_1M:\;\angle M=90^\circ,\;\angle MAO_1=\alpha\;\Rightarrow2=R_1\cos\alpha,\;O_1M=R_1\sin\alpha;

    2.DO2M: M=90°, MO2D=α2=R2sinα, O2M=R2cosα;2.\bigtriangleup DO_2M:\;\angle M=90^\circ,\;\angle MO_2D=\alpha\Rightarrow2=R_2\sin\alpha,\;O_2M=R_2\cos\alpha;

    3. По усл. O1O2=3O2M-O1M=3R2cosα-R1sinα=3.3.\;По\;усл.\;O_1O_2=3\Rightarrow O_2M-O_1M=3\Rightarrow R_2\cos\alpha-R_1\sin\alpha=3.

    Итак, получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

    2=R1cosα2=R2sinα3=R2cosα-R1sinα3=2cosαsinα-2sinαcosα2tg2α+3tgα-2=0tgα=12 α - острыйcosα=11+tg2α=25, R1=5, R2=25\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}2=R_1\cos\alpha\\2=R_2\sin\alpha\\3=R_2\cos\alpha-R_1\sin\alpha\end{array}\right.\Rightarrow\\\Rightarrow3=2\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\Rightarrow2tg^2\alpha+3tg\alpha-2=0\Rightarrow\\\Rightarrow tg\alpha=\frac12\;\left(\alpha\;-\;острый\right)\Rightarrow\\\Rightarrow\cos\alpha=\frac1{\sqrt{1+tg^2\alpha}}=\frac2{\sqrt5},\;R_1=\sqrt5,\;R_2=2\sqrt5\end{array}


  • §3. Свойства касательных, хорд, секущих. Вписанные и описанные четырёхугольники
    Рис. 17
    Свойство 1 (свойство касательных)

    Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам (рис. 17).

    Используя это свойство, легко решить следующую задачу.                                                  

    Пример 8

    На   основании  ACAC равнобедренного  треугольника  ABCABC расположена точка DD так, что AD=a,CD=bAD=a,CD=b. Окружности, вписанные в треугольники ABDABD и DBCDBC, касаются   прямой BDBD в  точках MM и NN соответственно. Найти отрезок MNMN.

    Решение
    Рис. 18 Рис. 18a

    Δ  Пусть a>b.a>b. Точки касания окружностей со сторонами треугольника ABCABC обозначим P, Q, EP,\;Q,\;E и FF (рис. 18). Положим BM=z, MN=x, ND=y.BM=z,\;MN=x,\;ND=y. По свойству касательных:

    DE=y, QD=x+y, AQ=AP=a-(x+y), EC=CF=b-y, PB=BM=z, BF=BN=z+x (рис. 18а)\begin{array}{l}DE=y,\;QD=x+y,\;AQ=AP=a-(x+y),\;EC=CF=b-y,\;\\PB=BM=z,\;BF=BN=z+x\;(рис.\;18а)\end{array} Выразим боковые стороны:

    AB=z+a-x-y, BC=z+x+b-y.AB=z+a-x-y,\;BC=z+x+b-y. По условию AB=BCAB=BC; получим z+a-x-y=z+x+b-yx=a-b2z+a-x-y=z+x+b-y\Rightarrow x=\frac{a-b}2.

    Если a<ba < b, рассуждая  аналогично, получим  x=b-a2x=\frac{b-a}2.

    Итак: MN=a-b2.MN=\frac{\left|a-b\right|}2.

    определение

    Четырёхугольник называется описанным около окружности, если окружность касается всех его сторон.

    теорема 7

    В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда,  когда  суммы  длин противолежащих сторон равны.                                                           

    доказательство
    Рис. 19

    □ Пусть четырёхугольник ABCDABCD описан около окружности (рис. 19). 

    По свойству касательных:AM=AN, NB=BP, PC=CQ и QD=DMAM+MD+BP+PC==AN+NB+CQ+QDAD+BC=AB+CD.\begin{array}{l}По\;свойству\;касательных:\\AM=AN,\;NB=BP,\;PC=CQ\;и\;\\QD=DM\Rightarrow\\\Rightarrow AM+MD+BP+PC=\\=AN+NB+CQ+QD\Rightarrow\\\Rightarrow AD+BC=AB+CD.\end{array}

    Докажем обратное утверждение. Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCDABCD стороны удовлетворяют условию AB+CD=BC+AD.AB+CD=BC+AD. Положим AD=a, AB=b, BC=c, CD=d.AD=a,\;AB=b,\;BC=c,\;CD=d.

    По    условию a+c=b+d,a+c=b+d, что  равносильно  c-b=d-a.c-b=d-a.

    Пусть d>a.d > a. Отложим на большей стороне  CDCD меньшую сторону  (рис. 20). Так как в этом случае c>bc > b то также отложим BN=bBN=b, получим  три   равнобедренных   треугольника ABN. ADM и MCN.ABN.\;ADM\;и\;MCN.

    Рис. 20

    В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, отсюда следует, что если провести биссектрисы углов B, C u D,B,\;C\;u\;D, то они разделят пополам соответственно отрезки AN, MN u AMAN,\;MN\;u\;AM и будут им перпендикулярны. Это означает, что биссектрисы будут серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника ANM,ANM, а они по теореме пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку O.O. Эта точка одинаково удалена от отрезков AB u BCAB\;u\;BC  (лежит на OBOB), BC u CDBC\;u\;CD  (лежит на OCOC) и CD u ADCD\;u\;AD (лежит на ODOD),  следовательно, точка OO одинакова удалена  от  всех  четырёх сторон четырёхугольника ABCDABCD и является центром вписанной окружности. Случай d=a,d=a, как более простой, рассмотрите самостоятельно. ■

    Пример 9

    Равнобокая трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований равны  aa и b.b.

    Решение
    Рис. 21

    Δ Пусть в равнобокой трапеции ABCD BC=b, AD=aABCD\;BC=b,\;AD=a (рис. 21). Эта трапеция  равнобокая (AB=CD),(AB=CD),, она описана около окружности, следовательно, AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC Отсюда получаем:  

                                AB=CD=a+b2.AB=CD=\frac{a+b}2.

    Проведём BM u CNBM\;u\;CN перпендикулярно AD.AD. Трапеция равнобокая, углы при основании равны, следовательно, равны и треугольники ABMABM и DCNDCN и AM=ND.AM=ND. По построению MBCNMBCN - прямоугольник, MN=BC=bMN=BC=b поэтому AM=12(AD-BC)-12(a-b).AM=\frac12(AD-BC)-\frac12(a-b).  Из прямоугольного треугольника ABMABM находим высоту трапеции ABCDABCD:

    BM=AB2-AM2=a+b22-a-b22=ab.BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{\left(\frac{a+b}2\right)^2-\left(\frac{a-b}2\right)^2}=\sqrt{ab}.

    Очевидно, что высота  трапеции  равна  диаметру  окружности, поэтому

     радиус вписанной окружности равен  r=12abr=\frac12\sqrt{ab}

    Очень полезная задача. Заметим, что из решения также следует, что в равнобокой описанной трапеции  cosα=a-ba+b\cos\alpha=\frac{a-b}{a+b}

    свойство 2 (угол между касательной и хордой)

    Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами (рис. 22).                         

    Рис. 22

    □ Рассматриваем  угол  NABNAB между  касательной NANA и хордой AB.AB. Если OO - центр окружности, то OAAN, OAB=OBA=90°-α.OA\perp AN,\;\angle OAB=\angle OBA=90^\circ-\alpha. Сумма углов  треугольника  равна  180º, следовательно, AOB=2α.\angle AOB=2\alpha.  Итак, α=NAB=12AOB.\alpha=\angle NAB=\frac12\angle AOB. 

    Обратим внимание, что угол NABNAB равен любому вписанному углу  AKBAKB, опирающемуся на ту же дугу AB.AB..                                                                                   

    Случай α90°\alpha\geq90^\circ рассматривается аналогично. ■

    Из этого свойства следует важная теорема «о касательной и секущей», которая часто используется при решении задач.

    ТЕОРЕМА 8

    Пусть  к  окружности  проведены из одной точки касательная  MAMA и секущая  MB,MB, пересекающая окружность в точке  CC (рис. 23). Тогда справедливо  равенство

    MA2=MB*MCMA^2=MB\ast MC

     т. е. если из точки M к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки М до точки касания равен произведению  длин отрезков секущей от точки М до точек её пересечения с окружностью.                                                                                       

    ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

    □ Угол MACMAC образован хордой и касательной, MAC=ABC.\angle MAC=\angle ABC.,  Так как в треугольниках MACMAC и MBAMBA угол MM общий, то по двум углам они подобны. Из подобия следует:  

    MAMB=MCMA\frac{MA}{MB}=\frac{MC}{MA}

     Откуда получаем: MA2=MB*MC.MA^2=MB\ast MC. ■                   

    Рис. 23
    СЛЕДСТВИЕ

    Если из точки MM к окружности проведены две секущие: MBMB, пересекающая окружность в точке CC и MK,MK, пересекающая окружность в точке  LL( рис. 23), то справедливо равенство MB*MC=MK*ML.MB\ast MC=MK\ast ML.

    □ Проведём касательную MA.MA. По доказанной теореме MA2=MB*MC u MA2=MK*MLMB*MC=MK*ML.\begin{array}{l}MA^2=MB\ast MC\;u\;MA^2=MK\ast ML\Rightarrow\\\Rightarrow MB\ast MC=MK\ast ML.\end{array}

    ПримеР 10
    Рис. 24

    Окружность  проходит  через  вершины C u DC\;u\;D трапеции ABCD,ABCD, касается боковой стороны ABAB в точке BB и пересекает  большее  основание ADAD в точке KK (рис. 24).  Известно, что  AB=53, BC=5, KD=10.AB=5\sqrt3,\;BC=5,\;KD=10. 

    Найти радиус окружности.

    Решение

    Δ 1. Пусть AK=x AD=10+x.AK=x\;\Rightarrow AD=10+x.

    По теореме о касательной и секущей:

    AB2=AK*KD75=x(x+10)x=5AD=15.\begin{array}{l}AB^2=AK\ast KD\Rightarrow75=x(x+10)\Rightarrow\\\Rightarrow x=5\Rightarrow AD=15.\end{array} 

    2. Заметим  теперь,  что   угол ABDABD между касательной ABAB и  хордой  BDBD равен вписанному углу BCDBCD, а из параллельности прямых ADAD и  BCBC следует  равенство углов 1 и 2. По первому признаку подобия ABD~DCBABCD=ADBDBDBC.\bigtriangleup ABD\sim\bigtriangleup DCB\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{AD}{BD}\frac{BD}{BC}. Из последнего равенства  находим, что BD2=AD*BCBD=AD*BC=53,BD^2=AD\ast BC\Rightarrow BD=\sqrt{AD\ast BC}=5\sqrt3,  

    а из первого равенства находим CD=AB*BDAB=5.CD=\frac{AB\ast BD}{AB}=5.

    Так как KB=CDKB=CD (KBCDKBCD - вписанная трапеция, она равнобокая), и KB2+BD2=KD2,KB^2+BD^2=KD^2, то KBD=90°\angle KBD=90^\circ  и  KDKD - диаметр окружности.

    Значит, её радиус равен 5. ▲

    теорема 9

    Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна

    Из этой теоремы следует:

    a) из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

    б) около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобокая.

    задача 11
    Рис. 25

    В треугольнике ABCABC биссектрисы ADAD и BFBF пересекаются в точке OO (рис. 25).  Известно,  что  точки F, O, D, CF,\;O,\;D,\;C лежат  на  одной окружности  и  что DF=3.DF=\sqrt3. Найти площадь треугольника  ODFODF.        

    Решение

    Δ Так как 

    BAO=12A u ABO=12B, moDOF=AOB=π-12(A+B).\begin{array}{l}\angle BAO=\frac12\angle A\;u\;\angle ABO=\frac12\angle B,\;mo\\\angle DOF=\angle AOB=\pi-\frac12(\angle A+\angle B).\end{array}

    Четырёхугольник DOFCDOFC  вписан   в   окружность, по   теореме   9:

    DOF=π-Cπ-12(A+B)=π-C, откуда, учитывая что A+B+C=π, находим С=π3.\begin{array}{l}\angle DOF=\pi-\angle C\Rightarrow\pi-\frac12(\angle A+\angle B)=\pi-\angle C,\;откуда,\;\\учитывая\;что\;\angle A+\angle B+\angle C=\pi,\;находим\;\angle С=\frac\pi3.\end{array}

    Теперь заметим, что OO - точка  точка пересечения биссектрис, COCO - биссектриса угла C,C, следовательно, углы OCDOCD и OCFOCF равны друг другу. Это вписанные углы, поэтому вписанные углы ODFODF и OFDOFD равны им и равны друг другу. Таким образом, ODF=OFD=12C=π6.\angle ODF=\angle OFD=\frac12\angle C=\frac\pi6. 

    Треугольник DOFDOF равнобедренный с основанием DF=3DF=\sqrt3 и углом при основании 30º. Находим его высоту, опущенную из вершины OO и площадь  треугольника ODF: S=12h*DF=34.ODF:\;S=\frac12h\ast DF=\frac{\sqrt3}4.


  • § 1. Подобие треугольников. Отношение площадей подобных треугольников. Свойства медиан, биссектрис и высот

    Две фигуры FF и F`F`  называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между двумя точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры FF и F`F`  подобны, то пишется F~F`F\sim F`Напомним, что в записи подобия треугольников ABC~A1B1C1\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием  подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. AA переходит в A1A_1, BB - в B1B_1, CC - в C1C_1. Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если ABC~A1B1C1\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1

    A=A1, B=B1, C=C1, ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1\angle A=\angle A_1,\;\angle B=\angle B_1,\;\angle C=\angle C_1,\;\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}

    признаки подобия треугльников

    Два треугольника подобны:

    • 1) если два угла одного соответственно равны двум углам другого;
    • 2) если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;
    • 3) если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

    Из признаков подобия следует утверждения, которые удобно использовать в решении задач: 

    1°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие в различных точках, отсекает треугольник, подобный данному.

    Рис. 5

    2°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает на них отрезки, пропорциональные данным сторонам,   т. е. если  MN||ACMN||AC (рис. 5), то

    mn=pq=m+pn+q\frac mn=\frac pq=\frac{m+p}{n+q}

    3°. Если  прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает на них пропорциональные отрезки, то она параллельна третьей стороне, т. е. если (см. рис. 5)

    mn=m+pn+q\frac mn=\frac{m+p}{n+q} или mn=pq\frac mn=\frac pq,

    то MNMN параллельна ACAC (доказательство было дано в задании для  9 класса).

    Пример 1
    Рис. 6

    Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках MM и NN. Найти длину отрезка  если  основания  трапеции равны aa и bb.

    Решение

    Δ Пусть OO точка пересечения диагоналей трапеции (рис. 6). Обозначим:

    AD=a, BC=b, MO=x, BO=p, OD=q.AD=a,\;BC=b,\;MO=x,\;BO=p,\;OD=q.

    1. BC~ADBOC~DOA (по двум углам)ba=pq1.\;\left\{\begin{array}{l}BC\sim AD\\\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup DOA\;(по\;двум\;углам)\end{array}\right.\Rightarrow\frac ba=\frac pq

    2. MO~ADMBO~ABDxa=pp+q2.\;\left\{\begin{array}{l}MO\sim AD\\\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABD\end{array}\right.\Rightarrow\frac xa=\frac p{p+q}

    Из (1) и (2) следует x=app+q=qp/qp/q+1=aba+bMO=aba+b.x=a\frac p{p+q}=q\frac{p/q}{p/q+1}=\frac{ab}{a+b}\Rightarrow MO=\frac{ab}{a+b}.

    Аналогично устанавливаем, что NO=aba+bMN=2aba+bNO=\frac{ab}{a+b}\Rightarrow MN=\frac{2ab}{a+b}.

    Результат этой задачи, как утверждение, верное для любой трапеции, следует запомнить. ▲

    Из определения подобия фигур следует, что в подобных фигурах все соответствующие линейные  элементы пропорциональны. Так, отношение периметров подобных треугольников равно отношению длин соответствующих сторон. Или, например, в подобных треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей (также и описанных окружностей) равно отношению длин соответствующих сторон. Это замечание поможет нам решить следующую задачу.

    Пример 2
    Рис. 7

    В прямоугольном треугольнике  ABCABC из вершины CC прямого угла проведена высота CDCD (рис. 7). Радиусы  окружностей, вписанных в треугольники ACDACD и BCDBCD равны соответственно r1r_1 и r2r_2 . Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABCABC.

    Решение

    Δ Обозначим искомый радиус rr, положим AB=cAB=c, AC=bAC=b, BC=aBC=a. Из подобия прямоугольных треугольников ACDACD и ABCABC (у   них   равные углы при вершине AA) имеем rr1=cb\frac r{r_1}=\frac cb, откуда b=r1rcb=\frac{r_1}rc. Прямоугольные треугольники  BCDBCD и  BACBAC также  подобны,  поэтому rr2=ca\frac r{r_2}=\frac ca, - откуда a=r2rca=\frac{r_2}rc. Так как a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 то, возводя в квадрат выражения для  aa и bb и складывая их, получим r1r2c2+r2r2c2=c2 r12+r22r2=1\left(\frac{r_1}r\right)^2c^2+\left(\frac{r_2}r\right)^2c^2=c^2\;\Rightarrow\frac{r_1^2+r_2^2}{r^2}=1.  Находим  r=r12+r22r=\sqrt{r_1^2+r_2^2} 

    Напомним, что площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих линейных элементов. Для треугольников это утверждение можно сформулировать так: площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Рассмотрим характерную задачу на эту тему.


    Пример3
    Рис. 8

    Через точку MM, лежащую внутри треугольника ABCABC, проведены три прямые, параллельные его сторонам. При этом образовались три треугольника (рис. 8), площади которых равны S1S_1, S2S_2  и S3S_3. Найти  площадь треугольника ABCABC.

    Решение

    Легко видеть, что треугольники EKMEKM, MQFMQF и PMNPMN подобны треугольнику ABCABC.

    Пусть SS -площадь треугольника ABCABC, тогда

    S1S=EMAC2; S2S=MFAC2; S3S=PNAC2.\frac{S_1}S=\left(\frac{EM}{AC}\right)^2;\;\frac{S_2}S=\left(\frac{MF}{AC}\right)^2;\;\frac{S_3}S=\left(\frac{PN}{AC}\right)^2.

    Откуда находим

    EM=S1SAC, MF=S2SAC, PN=S3SAC.EM=\sqrt{\frac{S_1}S}AC,\;MF=\sqrt{\frac{S_2}S}AC,\;PN=\sqrt{\frac{S_3}S}AC.

    А так как EM=AP, MF=NCEM+PN+MF=AP+PN+NC=ACEM=AP,\;MF=NC\Rightarrow EM+PN+MF=AP+PN+NC=AC.

    Таким образом, AC=AC*S1S+S2S+S3SS=S1+S2+S32AC=AC\ast\left(\sqrt{\frac{S_1}S}+\sqrt{\frac{S_2}S}+\sqrt{\frac{S_3}S}\right)\Rightarrow S=\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}\right)^2. ▲

    Свойства медиан, высот, биссектрис треугольника

    В наших заданиях 9-го и 10-го классов здесь повторяемые теоремы и утверждения были доказаны. Для некоторых из них  мы напоминаем пути доказательств, доказывая их моменты и давая поясняющие рисунки.

    о медианах
    Рис. 9

    Теорема 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке  и  точкой пересечения каждая медиана делится в отношении 2 : 1, считая от вершины.

    Теорема 2. Три медианы, пересекаясь, разбивают треугольник на 6 треугольников с общей вершиной, площади которых равны между собой.

    (На рис. 9 площадь каждого из 6 треугольников с вершиной  и основанием, равным половине стороны, равна 12SABC\frac12S_{ABC}. Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника


    Теорема 3. Пусть BDBD - медиана треугольника 

    ABC (BC=a, AC=b, AB=c, BD=ma)ABC\;(BC=a,\;AC=b,\;AB=c,\;BD=m_a)тогда

    mc2=a2+b22-c24m_c^2=\frac{a^2+b^2}2-\frac{c^2}4(Доказательство приведено далее в §4 Задания).

    Пример 4
    Рис. 10

    Медианы AA1AA_1 треугольника ABCABC пересекаются в точке OO, AA1=12AA_1=12 и CC1=6CC_1=6 и одна из сторон треугольника равна 12. (рис. 10). Найти площадь треугольника  ABCABC.

    Решение

    Δ 1. По теореме 1 имеем AO=23AA1=8, CO=23CC1=4AO=\frac23AA_1=8,\;CO=\frac23CC_1=4

    Расставим на рисунке 10 длины отрезков медиан. По условию, одна из сторон треугольника равна 12, сторона ACAC не может равняться 12, иначе AC=AO+OCAC=AO+OC - нарушено неравенство треугольника. Также не может равняться 12 сторона ABAB, так в этом случае AC1=6AC_1=6 и треугольник AOC1AOC_1  со сторонами 8, 2, 6 не существует. Значит,  BC=12BC=12 и AC1=6AC_1=6.

    2. Площадь треугольника находим по формуле Герона:

    p=7, SA1OC=7*1*3*3=37p=7,\;S_{A_1OC}=\sqrt{7\ast1\ast3\ast3}=3\sqrt7.

    По теореме 2 площадь треугольника  ABCABC в 6 раз больше, находим SABC=187S_{ABC}=18\sqrt7.▲

    о высотах

    Теорема 4. Три высоты треугольника или три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке. (Эта точка называется ортоцентром треугольника). В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.

    Были доказаны также две леммы о высотах

    1-ая лемма.

    Если AA1AA_1 и BB1BB_1 - высоты треугольника ABCABC, то треугольник A1B1CA_1B_1C подобен треугольнику ABCABC с коэффициентом подобия k=A1B1AB=cosCk=\frac{A_1B_1}{AB}=\left|\cos C\right|Можно это утверждение сформулировать так: Если соединить основания двух высот AA1AA_1 и BB1BB_1 треугольника ABCABC, то образуется треугольник, подобный данному: A1B1C~ABC\triangle A_1B_1C\sim\triangle ABC

    Из прямоугольных треугольников ACA1ACA_1 следует A1C=AC*cosCA_1C=AC*cosC или A1C=AC*cos(180°-C)=ACcosCA_1C=AC\ast cos(180^\circ-C)=AC\left|\cos C\right| (рис. 11а, б), а из прямоугольных треугольников BCB1BCB_1 следует B1C=BC*cosCB_1C=BC*cosC или B1C=BC*cos(180°-C)=BCcosCB_1C=BC\ast cos(180^\circ-C)=BC\left|\cos C\right|. Далее рассуждения очевидны.

    Рис. 11a Рис. 11б


    2-ая лемма.

    Если высоты AA1AA_1 и BB1BB_1 (или их продолжения) пересекаются в точке HH, то справедливо равенство AH*HA1=BH*HB1AH*HA_1=BH*HB_1 (рис. 12а, б).

    Рис. 12a Рис. 12б
    ПримеР 5
    Рис. 13

    Высоты AA1AA_1 и BB1BB_1 пересекаются в точке HH (рис. 13), при этом AH=3HA1AH=3HA_1 и BH=HB1BH=HB_1. Найти косинус угла ACBACB и площадь треугольника ABCABC, если AC=aAC=a.  

    Решение

     Δ Обозначим HA1=x, HB1=yHA_1=x,\;HB_1=y

    1. Точка HH - середина высоты (рис. 13). Если отрезок MHMH проходит через точку HH и параллелен  основаниям,  то MN - средняя линия; MN=a/2MN=a/2.

    2. HA1N~AA1CHNAC=x4x, HN=14a. \triangle HA_1N\sim\triangle AA_1C\Rightarrow\frac{HN}{AC}=\frac x{4x},\;HN=\frac14a.\;Значит, MH=HN=a4MH=HN=\frac a4 и AB1=B1C=a2AB_1=B_1C=\frac a2 Треугольник  ABCABC  равнобедренный, AB=BCAB=BC.

    3. B1BC=90°-CBHA1=AHB1=C\angle B_1BC=90^\circ-\angle C\Rightarrow\angle BHA_1=\angle AHB_1=\angle C, а по второй лемме о высотах  AH*HA1=BH*HB1AH*HA_1=BH*HB_1 т. е.  3x2=y2, y=x33x^2=y^2,\;y=x\sqrt3.

         Далее, cosC=cos(AHB1)=y3xcosC=cos(\angle AHB1)=\frac y{3x}, находим cosC=13\cos C=\frac1{\sqrt3}.

    4. AHB1: AB12=(3x)2-y2, a24=6x2, x=a26, y=a22SABC=12AC*BB1=ay=a224\begin{array}{l}\bigtriangleup AHB_1:\;AB_1^2=(3x)^2-y^2,\;\frac{a^2}4=6x^2,\;x=\frac a{2\sqrt6},\;y=\frac a{2\sqrt2}\Rightarrow\\\Rightarrow S_{ABC}=\frac12AC\ast BB_1=ay=\frac{a^2\sqrt2}4\end{array}. ▲

    о биссектрисах треугольника
    Рис. 14

    Теорема 5. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим  сторонам, т. е.  если ADAD - биссектриса треугольника  ABCABC (рис. 14), то

    BDDC=ABAC xy=cb\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\;\left(\frac xy=\frac cb\right)

    Доказательство легко выполните сами, применяя теорему синусов к треугольникам ADBADB и ADCADC.

    Теорема 6. Пусть ADAD - биссектриса треугольника ABCABC (рис. 14), тогда AD=AB*AC-DB*DCAD=\sqrt{AB\ast AC-DB\ast DC} (в обозначениях рисунка 14а) AD=bc-xyAD=\sqrt{bc-xy}.

    Рис. 14а

    □ Эту теорему докажем. Опишем около треугольника ABCABC окружность, точку пересечения прямой ADAD и окружности обозначим KK (рис. 14а).

    Обозначим  AD=z, DK=m.ABD~AKC (ABD=AKC и 1=2).Из подобия: ABAK=ADACcz+m=zbz2+zm=bc, z2=bc-zm.\begin{array}{l}AD=z,\;DK=m.\\\bigtriangleup ABD\sim\triangle AKC\;(\angle ABD=\angle AKC\;и\;\\\angle1=\angle2).\\Из\;подобия:\;\\\frac{AB}{AK}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow\frac c{z+m}=\frac zb\Rightarrow\\\Rightarrow z^2+zm=bc,\;z^2=bc-zm.\end{array}По свойству пересекающихся хорд:

    AD*DK=BD*CD, т.е. z*m=x*yz2=bc-xy, z=bc-xyAD\ast DK=BD\ast CD,\;т.е.\;z\ast m=x\ast y\Rightarrow z^2=bc-xy,\;z=\sqrt{bc-xy}.  ■

    Пример 6

    В треугольнике ABCABC со сторонами AB=5AB=5, AC=3AC=3 биссектриса AD=158AD=\frac{15}8. Найти сторону BCBC и радиус вписанной окружности.

    Решение

    Δ По теореме 5 (см. рис. 14) имеем xy=53\frac xy=\frac53 Обозначим x=5zx=5z, тогда  y=3zy=3z. По теореме 6 выполнено равенство 1582=5*3-5z*3z.\left(\frac{15}8\right)^2=5\ast3-5z\ast3z. Легко находим z=78z=\frac78 значит BC=7.BC=7. Радиус вписанной окружности найдём по формуле S=prS=pr (S - площадь треугольника,  p -полупериметр). Имеем p=152p=\frac{15}2, по формуле Герона S=152*12*102*92=1532,S=\sqrt{\frac{15}2\ast\frac12\ast\frac{10}2\ast\frac92}=\frac{15\sqrt3}2, поэтому r=Sp=32.r=\frac Sp=\frac{\sqrt3}2.  ▲


  • §2. Задачи о делении отрезка. Теорема Менелая

    Задача о «делении отрезка», как правило, решаются дополнительным построением – проведением прямой, параллельной рассекающей, и использованием подобия или теоремы о пересечении сторон угла параллельными прямыми. Общий подход к решению таких задач даёт теорема Менелая (далее напомним формулировку и доказательство, в задании 9-го класса это уже было сделано).

    Задача 7

    Точка DD  лежит на стороне BCBC, точка KK - на стороне ABAB треугольника  ABCABC, прямые ADAD и CKCK пересекаются в точке OO (рис. 15). Найти отношение  AO:ODAO:OD, если AK:KB=1:3AK:KB=1:3 и BD:DC=2:3BD:DC=2:3.  

    Решение
    Рис. 15 Рис. 15a Рис. 15б

    Δ Расставим на рисунке данные о делении  сторон.  Чтобы  решение стало  более  понятным,  сделаем  ещё  один  рисунок  (рис. 15а),  на   нём проведём DS||CKDS||CK.    

    Рассматриваем треугольник KBCKBC. Из DS||CK по утверждению  2°2^\circ

    (второй признак подобия треугольников) следует KS:KB=CD:CBKS:KB=CD:CB откуда KS=35*3x=95x.KS=\frac35\ast3x=\frac95x. (Ставим это на рисунке).

    На этом этапе удобно сделать ещё один рисунок (рис. 15б), либо на рисунке 15а провести прямую  и отметить точку  OO.

    В треугольнике ASDASD по построению SD||KOSD||KO, По утверждению 2°2^\circ имеем  AO:OD=AK:KSAO:OD=AK:KS, откуда следует AO:OD=5:9AO:OD=5:9  ▲

    теорема 7 (менелая) о треугольнике и секущей

    Точки  и  расположенные на сторонах  и  треугольника  и точка  расположенная на продолжении стороны  за точку   лежат  на  одной  прямой   тогда  и только тогда, когда имеет  место равенство: 

    AC1C1B*BA1A1C*CB1B1A=1 (*)\frac{AC_1}{C_1B}\ast\frac{BA_1}{A_1C}\ast\frac{CB_1}{B_1A}=1\;(\ast)

    Рис. 16а

    □ Пусть точки B1,A1,C1B_1,A_1,C_1 лежат на одной прямой. 

      Проводим CK||ABCK||AB (рис. 16а):

    A1CK~A1BC1CKC1B=A1CBA1;B1AC1~B1CKAC1CK=B1AB1C.\begin{array}{l}\triangle A_1CK\sim\triangle A_1BC_1\Rightarrow\frac{CK}{C_1B}=\frac{A_1C}{BA_1};\\\triangle B_1AC_1\sim\triangle B_1CK\Rightarrow\frac{AC_1}{CK}=\frac{B_1A}{B_1C}.\end{array}                                    

    Почленно перемножив, получим  

    AC1C1B=A1CBA1*B1ACB1AC1C1B*BA1A1C*CB1B1A=1\begin{array}{l}\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{A_1C}{BA_1}\ast\frac{B_1A}{CB_1}\Rightarrow\\\Rightarrow\frac{AC_1}{C_1B}\ast\frac{BA_1}{A_1C}\ast\frac{CB_1}{B_1A}=1\end{array}                          

    (стрелочки на рис. 16а показывают последовательность взятия отрезков, движение начинается в точке А и в ней же заканчивается).

    Рис. 16б

    2. Пусть имеет место равенство (*)(*). Через две точки B1B_1 и A1A_1 проводим   прямую,   точку  пересечения    с   отрезком ABAB обозначаем C2C_2 (рис. 16б). Точки  A1,B1A_1, B_1 и C2C_2  лежат на одной прямой, по доказанному имеет место 

    AC1C1B*BA1A1C*CB1B1A=1.\frac{AC_1}{C_1B}\ast\frac{BA_1}{A_1C}\ast\frac{CB_1}{B_1A}=1.

    Сравнивая с равенством (*)(*), устанавливаем, что AC2C2B=AC1C1B\frac{AC_2}{C_2B}=\frac{AC_1}{C_1B} и показываем, что точки C2C_2 и C1C_1 совпадают, т. к. делят отрезок ABAB на равные отрезки. ■

    Применим теорему Менелая к решению примера 7 (см. рис. 15): рассматриваем треугольник BADBAD и секущую CKCK (она определяет три точки: K,O,CK,O,C ). Имеем: BKKA·AOOD·DCCB=1, т.е. 3xx·AOOD·3y5y=1AOOD=59.\frac{BK}{KA}\cdot\frac{AO}{OD}\cdot\frac{DC}{CB}=1,\;т.е.\;\frac{3x}x\cdot\frac{AO}{OD}\cdot\frac{3y}{5y}=1\Rightarrow\frac{AO}{OD}=\frac59.

    Дополнение. Если при тех же условиях задачи 6 требуется определить, какую часть площади треугольника составляет, например, площадь 4х угольника KODBKODB то полезно сначала решить задачу о «делении отрезка» и найти, например, AO:OD=5:9AO:OD=5:9, а затем использовать тот факт, что площади треугольников с одинаковыми высотами относятся как длины их оснований:

    SABC=S; SADC=35S (DC=35BC);SOCD=914SADC=91435S=2770S (OD=914AD);SKCB=34S (BK=34AB)SKCB=SKCB-SOCD=34S-2770S=51140S.\begin{array}{l}S_{ABC}=S;\;S_{ADC}=\frac35S\;(DC=\frac35BC);\\S_{OCD}=\frac9{14}S_{ADC}=\frac9{14}\left(\frac35S\right)=\frac{27}{70}S\;(OD=\frac9{14}AD);\\S_{KCB}=\frac34S\;(BK=\frac34AB)\Rightarrow\\\Rightarrow S_{KCB}=S_{KCB}-S_{OCD}=\frac34S-\frac{27}{70}S=\frac{51}{140}S.\\\end{array}

  • Решение планиметрических задач

    Основное внимание, как во всех Заданиях, уделяется методам и приёмам решения задач. Именно решение задач делает изучение вообще, и геометрии в частности, активным. Ведь каждая решённая задача - это некоторый поиск и, пусть небольшое, но открытие. «То, что вы были принуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете воспользоваться, когда в том возникнет необходимость» (это слова немецкого физика XVII столетия Лихтенберга, который известен своими афоризмами).

    Итак, если хотите научиться решать задачи, приобрести навыки решения – учитесь этому, разбирайте решения в учебнике и нашем Задании, повторяйте эти решения (ведь так учатся всему), а затем пробуйте свои силы. У Вас получится.

    Задание состоит из четырёх параграфов. В параграфе 1 повторяются признаки подобия треугольников, решается несколько характерных задач на эту тему, повторяются свойства медиан, биссектрис и высот треугольника. Во втором параграфе обсуждаются «задачи в делении отрезка» и доказывается теорема Менелая. Третий параграф посвящён свойствам касательных, хорд, секущих, вписанных и описанных четырёхугольников. В параграфе 4 рассматривается применение теорем синусов и косинусов, разобраны задачи, решение которых требует применение тригонометрии. Почти все эти темы разбирались в заданиях по геометрии в 9 и 10 классах ЗФТШ, поэтому более простые утверждения здесь приводятся без доказательства. Тем, кто поступил в ЗФТШ в 11 класс, рекомендуется доказать эти утверждения самостоятельно, а те, кто учится в ЗФТШ не первый год, найдут много новых интересных задач, подробно решённых в 19 примерах.

    Задание оканчивается контрольными вопросами и задачами для самостоятельного решения; они оценены по трудности в очках, которые указаны в скобках после номера. Знаком * «звёздочка» отмечены более трудные вопросы и задачи.

    За правильный ответ и верное решение задачи ставится полное число очков, за недочёты и ошибки определённое число очков снимается.

    Работу над заданием рекомендуется начать с внимательного чтения его и самостоятельного решения (после ознакомления) всех приведённых в нём задач. Ответы на контрольные вопросы следует давать подробные, со ссылками на соответствующие теоремы учебника или данного задания, с доказательствами своих ответов. В случае отрицательного ответа должен быть приведён опровергающий пример. Приведём примеры ответов на контрольные вопросы.

    Вопрос 1

    Можно ли утверждать, что треугольник равнобедренный, если его биссектриса является медианой?

    Ответ

    Рис. 1

    Да, можно. Докажем это. Пусть в треугольнике ABCABC биссектриса является медианой: AM=MCAM=MC (рис. 1). На продолжении биссектрисы BMBM отложим отрезок MDMD, равный MBMB. Треугольники ABMABM и CDMCDM равны по первому признаку: у них углы при вершине MM  равны как вертикальные и AM=CMAM=CM, BM=MDBM=MD. Из равенства треугольников следует

    CD=AB (1)CD=AB\;(1) 

    и CDM=ABM\angle CDM=\angle ABM. Но ABM=CBM\angle ABM=\angle CBM, поэтому CDM=CBM\angle CDM=\angle CBM, т. е. в треугольнике BCDBCD  углы при основании BDBD равны. По теореме этот треугольник равнобедренный: BC=CDBC=CD. Отсюда и из (1)(1) заключаем: BC=ABBC=AB. Утверждение доказано.

    Вопрос 2
    Рис. 2

    Могут ли длины сторон треугольника быть меньше 1мм, а радиус описанной окружности больше 1км?

    ОТвет

    Да, могут. Приведём пример. Из точки CC, лежащей на окружности  радиуса 2 км, дугой радиуса 1/21/2 мм отмечаем точки AA и BB, лежащие на большей окружности (рис. 2); очевидно, AC=CB=1/2AC=CB=1/2 мм.

    Треугольник ABCABC вписан в окружность радиуса 2км, а его наибольшая сторона ABAB < AC+BC=1AC+BC=1 мм.

    вопрос 3
    Рис. 3

    Можно ли через точку окружности провести три равные между собой хорды?

    ответ

    Нет, нельзя. Действительно, предположим противное, т. е. предположим, что хорды ABAB, ACAC и ADAD окружности с центром в точке OO равны между собой (рис. 3). Тогда точки BB, CC и DD одинаково удалены от точки A, т. е. они лежат на окружности с центром в точке AA. Однако, этого не может быть, так как две окружности с разными центрами не могут иметь более двух общих точек. Значит предположение неверно.

    Вопрос 4
    Рис. 4

    Верно ли, что ABC=A1B1C1\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1, если AB=A1B1AB=A_1B_1, BC=B1C1BC=B_1C_1, C=C1\angle C=\angle C_1?

    Ответ

    Нет, например, на рис. 4 показаны треугольники ABCABC и A1B1C1A_1B_1C_1, для которых, как легко видеть, выполнены все заданные равенства, но ABCA1B1C1\triangle ABC\neq\triangle A_1B_1C_1, так как ACA1C1AC\neq A_1C_1.

    Итак, при утвердительном ответе надо либо привести доказательство того, что данное утверждение верно (как в ответе на вопрос 1), либо привести конкретный пример реализации заданных условий (как в ответе на вопрос 2).

    При отрицательном ответе надо либо привести рассуждения, приводящие к противоречию заданных условий аксиоме, теореме или определению (как в ответе на вопрос 3), либо построить один опровергающий пример (как в ответе на вопрос 4).

    После повторения тем в §1 – 4 в заключительном пятом параграфе обсудим вопросы подходов к решению, важность хорошего рисунка, выбора переменных, а также остановимся на некоторых ошибках, допускаемых учащимися и абитуриентами.

    Это задание вместе с присланным решением будут Вам полезны при подготовке к экзаменам.

  • Введение

    В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.

    Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интервалов для рациональных функций. Обратите внимание на то, как мы выделяем решение на числовой оси.

    Затем рассмотрим иррациональные уравнения и уравнения, содержащие модуль или квадратный корень. Приведём условия равносильности, которыми вы, наверное, пользуетесь, но не записываете в таком виде. Всё это даёт возможность решать уравнения быстрее, что важно для выполнения, например, заданий ЕГЭ.

  • Вступление

    Дорогие ребята! Поздравляем вас с поступлением в заочную физико-техническую школу МФТИ. Вы получили первое задание по математике, в нем мало сложных задач, советуем вам внимательно изучить разработку, без ошибок ответить на контрольные вопросы и постараться решить предложенные вам задачи. Мало знать, как решить задачу, главное – уметь довести решение до конца и при этом не допустить арифметических ошибок. Не огорчайтесь, если вы не сможете справиться со всеми задачами. Вам вышлют решение задания, вы сможете посмотреть, как следует решать ту или иную задачу. В некоторых задачах мы указываем название учебного заведения (например, МГУ или МФТИ). Это означает, что данная задача предлагалась на вступительных экзаменах.

    Обратите внимание, как оформлены решения в присланных вам заданиях и как записывают решения задач в ваших учебниках и задачниках.

    Грамотный человек должен быть грамотным во всех предметах. Не забывайте о правилах грамматики, особенно о точках и запятых в ваших решениях. Постарайтесь аккуратно оформлять ваши решения.

    Мы очень надеемся, что поможем вам в изучении математики. Рады будем видеть вас в будущем студентами нашего института.

    Желаем вам больших успехов в этом году!

  • §5. Уравнения с параметром

    Рассмотрим уравнение (a-3)(a-2)·x=(a-3)(a+5). Такие уравнения носят название «уравнения с параметром». Здесь x - неизвестное , а a - параметр. Требуется найти решение x при любых значениях параметра a.
    Если a=3, то уравнение принимает вид: 0·x=0, этому уравнению удовлетворяет любое число x, т. е. в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
    Если a=2, то уравнение принимает вид: 0·x=-7, это уравнение не имеет решений.
    Если a3 и a2, то обе части уравнения можно разделить на (a-3)(a-2), тогда получаем: `x={(a-3)(a+5)}/{(a-3)(a-2)}={a+5}/{a-2}`. Таким образом, если a3 и a2, то уравнение имеет единственное решение и при этом  `x={a+5}/{a-2}`.

    Пример 1

    Найдите значение параметра `a`, при котором уравнение `|x+a|=a-4` имеет один корень.

    Решение

    Для того чтобы уравнение имело один корень необходимо чтобы правая часть была равна нулю: `a-4=0`, то есть `a=4`.

    Ответ

    При `a=4` уравнение имеет один корень.

    Пример 2

    Найдите значение параметра `a`, при котором уравнение `(a-2)x=2` не имеет корней.

    Решение

    Если `a=2`, то уравнение принимает вид: `0*x=2`, это уравнение не имеет решений.

    Ответ

    При `a=2` уравнение не имеет корней.

    Пример 3

    Найдите целые значения параметра `a`, при которых корень уравнения `ax=-8` удовлетворяет неравенству `1,5<|x|<4`.

    Решение

    Из уравнения `x=-8/a`, `1,5<|-8/a|<4`, `a=4`, `a=-4`, `a=3`, `a=-3`, `a=5`, `a=-5`.

    Ответ
    `a={-5,-4,-3,3,4,5}`.





  • §6. Линейная функция и её график

    Функция вида y=kx+b, где `k` и `b` - произвольные числа, называется линейной функцией. Графиком линейной функции является прямая.

    Рассмотрим частные случаи функции `y=kx+b`, когда `k` и (или) `b` принимают занчения равные нулю:

    1) если `b=0`, то прямая пропорциональность, график проходит через начало координат;

    2) если` k=0`, то `y=b`, графиком является прямая, параллельная оси `Ox`;

    3) если `b=0`, и `k=0`, то `y=0`, то графиком является ось `Ox`.

    Для построения графика достатояно указать две точки, принадлежащие прямой, и затем через эти две точки провести прямую. 

    Пример 1

    Постройте график функции: а)  y=2x+3;  б) y=2.

    Решение

    а) При x=0;  y=3; при x=1;  y=5. Проводим прямую через точки (0; 3) и (1; 5).  График прямой приведён на рисунке 1.

    б) Для любого значения x значение y=2. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0; 2). График этой функции приведён на рисунке 2.

                     

    График линейной функции `y=kx+b`, где `k` и `b` - произвольные числа, может быть получен из графика функции `y=kx` путём его параллельного переноса вдоль оси `Oy` на `b` единиц вверх, если `b` - положительно, или `|b|` единиц вниз, если `b` - отрицательно.

    В примере 1а) `y=2x+3`, при построении графика можно сначала построить график функции `y=2x`, а затем параллельным переносом вдоль оси `Oy` на `3` единицы вверх перенести график (рис. 3).

    Число `k` называют угловым коэффициентом прямой – графика функции `y=kx+b`. Если `k>0` то угол наклона прямой `y=kx+b` к оси `x` острый; если `k<0` то угол наклона тупой.

    Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

    Построим теперь график функции y=x

    Из определения модуля числа следует, что y=x, если x>0,0, если x=0,-x, если x<0.

    При x0  y=x, графиком функции при x0 является часть прямой y=x. А при x<0 графиком функции является часть прямой y=-x. График функции y=x приведён на рисунке 3а.

    Пример 2

    Постройте график функции y=x+1-x-2.

    Решение

    Выражение x-2 равно нулю при x=2. Если x>2, то x-2>0, поэтому x-2=x-2. А если x<2,  то x-2<0, тогда x-2=-(x-2)=-x+2.  Выражение x+1  равно нулю, если x=-1

    Если x>-1, то x+1>0, тогда x+1=x+1

    А если x<-1, то x+1<0, тогда x+1=-(x+1)=-x-1. Пусть x2, тогда x-2=x-2x+1=x+1, поэтому y=x+1-(x-2)=3.

    Если -1<x<2, то x-2=2-xx+1=x+1, тогда y=x+1-2+x=2x-1.

    Если x-1, то x+1=-x-1x-2=2-x, тогда y=-x-1-2+x=-3.  

    Таким образом, y=3, если x2;2x-1, если -1<x<2;-3, если x-1.y=\left\{\begin{array}{l}3,\;\mathrm{если}\;x\geq2;\\2x-1,\;\mathrm{если}\;-1<x<2;\\-3,\;\mathrm{если}\;x\leq-1.\end{array}\right.

    Заметим, что прямая y=2x-1 проходит через точки (-1; -3) и (2; 3).  График данной функции приведён на рисунке 4.

    Пример 3


    Постройте график функции y=x-3, x0;x+4-1, если x<0.

    Используя график функции, определите, сколько будет точек пересечения графика функции с прямой y=a при различных значениях параметра a.

    Решение
    Из определения модуля следует, что  x-3=3-x, если x0; 3;x-3, если x>3.

    Далее x+4-1=-4-x-1, если x-4;4+x-1, если x(-4; 0).

    График данной функции приведён на рисунке 5.

    Если a<-1, то прямая y=a не пересекает график данной функции.
    Если a=-1, то прямая пересекает график функции в точке (-4; -1)

    Если a(-1; 0), то будет две точки пересечения. 

    Если a=0, то прямая y=0 пересекает график функции в точках (-5; 0)(-3; 0)(3; 0).

    Если a(0; 3), то получается 4 точки пересечения.
    Если a=3, то будет 3 точки пересечения.
    Если a>3, то будет 2 точки пересечения.

  • §4. Модуль числа
    Определение Модуля Числа

    Если число положительное, то его модуль равен самому числу. Например, `|2,5|=2,5`; `|1 3/4|=1 3/4`.  

    Если число отрицательное, то его модуль равен противоположному числу. Например, `|-3,1|=3,1`; `|-2 3/7|=2 3/7`. 

    Модуль нуля равен нулю.
    Запишем определение модуля таким образом: $$\left | x \right |= \left\{\begin{matrix}
    x, если {}      x\geq 0,\\
    -x, если    {}   x<0.
    \end{matrix}\right.$$

    Докажем некоторые свойства модуля.
         

    Свойство 1

    Для любого числа x выполняется условие x0

    Действительно, если x>0, то x=x и тогда x>0

    Если  x<0, то x=-x, но -x>0, значит x>0. И если  x=0, то x=0.

    Таким образом, x0 для любого x. При этом заметим, что x>0, если x0, и x=0, если x=0.

         

    Пример 1

    При каких значениях x выполняются равенства:

    а) x=5 ;  

    б) x=-3;   

    в) x-1=2?

    Решение

    а) Если x положительное, то x=5; если x отрицательное, то -x=5, т. е. x=-5.

    б) По свойству 1 выполняется условие x0, а у нас условие x=-3<0. Следовательно, не существует чисел, для которых выполнялось бы данное условие.
    в) По определению модуля числа следует, что если x-10, т. е. x1, то x-1=x-1=2,  отсюда следует, что x=3. Если же x<1, то x-1<0 и x-1=-(x-1), получаем равенство -x+1=2, -x=1, x=-1. В дальнейшем мы такие уравнения будем решать коротко, а именно, рассуждаем так: если модуль какого-то выражения равен 2, то либо это выражение равно 2, либо равно (-2). Если x-1=2, то получаем два случая: x-1=2, x=3 и x-1=-2, x=-1.       

    Свойство 2

    Для любых чисел x и y выполняется условие

    xy=x·y.

    Доказательство

    Если числа x и  y  положительные, то xy>0,  xy=xy, x=x, y=y,    получаем верное равенство xy=xy

    Если числа x и y отрицательные, то xy>0,  xy=xy,  x=-xy=-y, получаем верное равенство xy=(-x)(-y),  xy=xy.

    Если x>0, а y<0, то xy<0, xy=-xy, x=x, y=-y, получаем верное равенство -xy=-xy.

    Аналогично доказывается, если x<0,  a y>0

    Если одно из чисел x и y равно нулю, то обе части равенства xy=x·yравны нулю, т. е. равенство верное.
         

    Пример 2

    При каких значениях x верно равенство -5x-10=15\left | -5x-10 \right |=15

    Решение
    -5x-10=-5(x+2)=-5·x+2=5x+2\left | -5x-10 \right |=\left | -5(x+2) \right |=\left | -5 \right |\cdot \left | x+2 \right |=5\left | x+2 \right |.
    Таким образом, получили равенство 5x+2=15, x+2=3, отсюда следует, что

    x+2=3, x=1 и x+2=-3, x=-5.

    Ответ

     1; -5

    Аналогично свойству 2 можно доказать свойство `|x/y|=|x|/|y|`. Исходя из определения модуля числа, можно доказать, что для любого числа x верно равенство x=-x.

         

    Пример 3

    Решите уравнение `|-3x-1|-2x=2`.

    Решение

    `|-3x-1|=|-3(x+1/3)|=|-3|*|x+1/3|=3|x+1/3|`. 

    После этих преобразований получили уравнение `3*|x+1/3|-2x=2`. 

    Из определения модуля следует, что `|x+1/3|=x+1/3`,  если `x+1/3>=0`,  т. е.  `x>=-1/3` и `|x+1/3|=-x-1/3`,  если `x<-1/3`.

    а) Если `x>=-1/3`, то получаем уравнение `3(x+1/3)-2x=2`, `x+1=2`, `x=1`.  Число `1> -1/3`, поэтому число `x=1` является решением уравнения.

    б) Если `x<-1/3`, то получаем уравнение `3(-x-1/3)-2x=2`,  `-5x=3`, `x=-3/5<-1/3`.

    Ответ
     `-3/5`;  `1`. 
         
    Пример 4

    Решите уравнение x-1+x+1=2

    Решение

    Напомним определение модуля числа:  a=a, a0,-a, a<0.

    В данном уравнении под знаком модуля стоят числа x-1 и x+1. 

    Если x меньше, чем -1, то число x+1 отрицательное, тогда x+1=-x-1. 

    А если x>-1, то x+1=x+1. При x=-1 имеем x+1=0. Таким образом, x+1=x+1, x-1,-x-1, x<-1.

     Аналогично x-1=x-1, x1,-x+1, x<1.

    а) Рассмотрим наше уравнение при x-1, оно равносильно уравнению -x+1-x-1=2, -2x=2, x=-1. Это число принадлежит множеству x-1.

    б) Пусть теперь -1<x1, тогда данное уравнение равносильно уравнению -x+1+x+1=2, 0·x=0, последнему уравнению  удовлетворяет любое число, но так как мы рассматриваем множество -1<x1, значит, этому уравнению удо-влетворяют все числа из этого множества.
    в) Рассмотрим случай x>1. Уравнение равносильно уравнению x-1+x+1=2, x=1. Число x=1  мы получили уже в пункте б).

    Ответ

    Уравнению удовлетворяют все числа, удовлетворяющие условию -1x1. 
    Пример 5

    Решите уравнение: 11x+5=9x+13.

    Решение

    Если модули чисел равны, то эти числа либо равны, либо отличаются знаком. Если числа равны, то получаем уравнение: 

    11x+5=9x+13,  2x=8,  x=4.

    Если числа отличаются знаком, то получаем уравнение:

    11x+5=-9x-13,  20x=-18,   x=-0,9.

    Ответ
    4; -0,9. 
    Пример 6

    Решите уравнение: 5-x+6+1=6\left|5-\left|x+6\right|\right|+1=6.

    Решение

    Перенесём `1` в правую часть, получим 5-x+6=5\left|5-\left|x+6\right|\right|=5. Теперь по определению модуля  рассмотрим два случая: `5-|x+6|=5` и `5-|x+6|=-5`.

    Решим каждое из них.  `-|x+6|=5-5`, `|x+6|=0`, если модуль равен нулю, то выражение под модулем равно нулю `|x+6|=0`, `x=-6`.

    Решим второе уравнение: `-|x+6|=-10`, `|x+6|=10`, опять получим два случая: `x+6=10` и `x+6=-10`. Решим их: `x=4` и `x=-16`. 

    Ответ
    `-6`; `4`; `-16`.
  • §3. Уравнения с одной переменной
    Определение

    Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.

    Например, уравнением с одной переменной является равенство 2(3x+5)=4x-1. 

    Определение

    Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

    Например, число 1 является решением уравнения 3x+5=9x-1. Уравнение x2+1=0 не имеет решений, т. к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение (x-1)(x+2)=0 имеет два корня: x1=1 и x2=-2. 

    Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

    Определение

    Уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения является решением первого или если оба уравнения не имеют решений.

    При решении уравнений используют следующие свойства

    Свойства

    1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

    2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.


    определение

    Уравнение вида ax=b, где x - переменная, a и  b -  некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной. 

    Если a0, то уравнение имеет единственное решение x=ba. 

    Если a=0 и b=0, то уравнению удовлетворяет любое значение x, а если a=0, а b0, то уравнение не имеет решений, т. к.  0·x=b не выполняется ни при одном значении переменной.

    Пример 1

    Решите уравнение 2,5x-(x+1)=(3x-1)-2x+1.

    Решение

    Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с x в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие x, в правую часть, получаем: 

    2,5x-x-3x+2x=1-1+1. 

     0,5x=1, x=2.

    Ответ
    `2`.
    Пример 2

    Решите уравнение:  

    а) 2x2-3x=0

    б) x3-2x2-9x+18=0

    в) x2+5x+6=0.

    Решение

    а) Преобразуем уравнение: x(2x-3)=0. Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, получаем x1=0, x2=32.

    Ответ 
    0; 32.

    б) Разложим на множители левую часть уравнения:

    x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x+3). 

    Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа x1=2, x2=3, x3=-3.

    Ответ 

    2; 3; -3.

    в) Это уравнение называется квадратным, вы подробно изучите эти уравнения в 8-м классе. Но покажем, как можно решать такие уравнения. Представим 5x как 2x+3x, тогда имеем: 

    x2+2x+3x+6=0,   

    x(x+2)+3(x+2)=0, (x+2)(x+3)=0,  

    отсюда видно, что x1=-2, x2=-3.  

    Это уравнение можно решать и методом выделения полного квадрата. Представим выражение 5x=2·52x.  И прибавим и вычтем в левой части уравнения число 254, получаем:

    x2+2·52·x+254-254+6=0,   x+522-254+6=0, x+522-14=0,  x+522-122=0, x+52-12x+52+12=0,  (x+2)(x+3)=0.

    Откуда следует, что x1=-2 и x2=-3.

    Ответ

    -2; -3.

    Пример 3

    Являются ли данные уравнения равносильными:
    а) x-1=2 и 2x-5=1; 

    б) (x-3)(x+7)x-3=0 и (x-3)(x+7)=0.

    Решение

    а) Если x-1=2, то x-1=2, x=3, или x-1=-2, x=-1. Первое уравнение имеет два решения: -1 и 3. 

    Второе уравнение имеет одно решение x=3. Число -1 является решением первого уравнения и не является решением второго уравнения, следовательно, данные уравнения не являются равносильными.

    б) Число x=3 является решением второго уравнения и не является решением первого уравнения, т. к. при x=3 не определена дробь, стоящая в левой части первого уравнения, поэтому данные уравнения не являются равносильными.

  • §2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена
    Определение

    Выражения вида 2x2+3x+5, `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида ax2+bx+c, где a,b,ca, b, c – произвольные числа, причём a0. 

    Рассмотрим квадратный трёхчлен  x2-4x+5. Запишем его в таком виде: x2-2·2·x+5.Прибавим к этому выражению 22 и вычтем 22, получаем: x2-2·2·x+22-22+5. Заметим, что x2-2·2·x+22=(x-2)2, поэтому

    x2-4x+5=(x-2)2-4+5=(x-2)2+1. 

    Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».

    Пример 1

    Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9x2+3x+1. 

    Решение

    Заметим, что 9x2=(3x)2, `3x=2*1/2*3x`. Тогда  

    `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. 

    Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем  

    `((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.  

    Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

    Пример 2

    Разложите на множители квадратный трёхчлен 4x2-12x+5.

    Решение

    Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: 

    2x2-2·2x·3+32-32+5=2x-32-4=(2x-3)2-22. 

    Теперь применяем формулу a2-b2=(a-b)(a+b), получаем: 

    (2x-3-2)(2x-3+2)=(2x-5)(2x-1).  

    Пример 3

    Разложите на множители квадратный трёхчлен -9x2+12x+5.

    Решение

    -9x2+12x+5=-9x2-12x+5. Теперь замечаем, что 9x2=3x2, -12x=-2·3x·2. 

    Прибавляем к выражению 9x2-12x слагаемое 22, получаем:

    -3x2-2·3x·2+22-22+5=-3x-22-4+5=-3x-22+4+5==-3x-22+9=32-3x-22.

    Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

     -9x2+12x+5=3-3x-23+(3x-2)=(5-3x)(3x+1).

    Пример 4

    Разложите на множители квадратный трёхчлен 3x2-14x-5.

    Решение

    Мы не можем представить выражение 3x2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

    `3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`

    `=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`

    `=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.

    Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
    Рассмотрим квадратный трёхчлен x2-x+3.  Выделяем полный квадрат:

    `(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.     

    Пример 5

    Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена   -16x2+8x+6. 

    Решение

    Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: -16x2+8x+6=-4x2-2·4x·1+1-1+6=-4x-12-1+6==-4x-12+7. 

    При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7, а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее  7. Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.  

    Пример 6

    Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.

    Решение

    Заметим, что знаменатель дроби x2-6x+9=x-32. Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.

    x2+2x-15=x2+2·x·1+1-1-15=x+12-16=x+12-42==(x+1+4)(x+1-4)=(x+5)(x-3).  

    Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на (x-3) получаем `(x+5)/(x-3)`. 

    Пример 7

    Разложите многочлен x4-13x2+36 на множители.

    Решение

    Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.

    `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=`

    `=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

    `=(x^2-13/2)^2-(5/2)^2=(x^2-13/2-5/2)(x^2-13/2+5/2)=`

    `=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)`.

    Пример 8

    Разложите на множители многочлен 4x2+4xy-3y2.

    Решение

    Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем: 

    (2x)2+2·2x·y+y2-y2-3y2=(2x+y)2-2y2==(2x+y+2y)(2x+y-2y)=(2x+3y)(2x-y).     

    Пример 9

    Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `{8x^2+10x-3}/{2x^2-x-6}`. 

    Решение

    `8x^2+10x-3=8(x^2+10/8 x-3/8)=8(x^2+2*5/8 x+(5/8)^2-(5/8)^2-3/8)=`

    `=8((x+5/8)^2-25/64-24/64)=8((x+5/8)^2-(7/8)^2)=`

    `=8(x+5/8+7/8)(x+5/8-7/8)=8(x+12/8)(x-2/8)=`

    `=8(x+3/2)(x-1/4)=(2x+3)(4x-1)`.

    Преобразуем знаменатель дроби:

    `2x^2-x-6=2(x^2-x/2-6/2)=2(x^2-2*1/4 x+(1/4)^2-(1/4)^2-6/2)=`

    `=2((x-1/4)^2-(7/4)^2)=2(x-1/4-7/4)(x-1/4+7/4)=`

    `=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.

    Имеем: `{(2x+3)(4x-1)}/{(x-2)(2x+3)}={4x-1}/{x-2}`.



  • §1. Тождественные преобразования. Решение уравнений

    В математике встречаются два вида математических выражений – числовые выражения и выражения с переменными.

    Пример

    Числовыми являются выражения 3,8-2,157-342+5(38:9).

    Выражения вида `2x+1`, 3x2+53x^2+5 называются выражениями с одной переменной. Выражение может содержать и несколько переменных.

    Пример

    2x2y+xyz35a2bx-y2 , 3t2+v3+1 .

    Если в выражении с переменными подставить вместо переменных конкретные числа, то получим числовое выражение. После выполнения всех действий с числами получится число, которое называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.

    Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, т. е. выполняются все указанные действия, называются допустимыми значениями переменных.

    Значения двух выражений с переменными при одних и тех же значениях переменных называются соответственными значениями выражений.

    Пример

    Соответственными значениями выражений 2x2+1 и 3x2+5x+1 при `x=1` являются числа 33 и 99.

    Два выражения (числовые или с переменными), соединенные знаком «`=`», называют равенством. Числовые равенства могут быть верными и неверными. Равенства с переменными могут быть  верными при  одних значениях переменных и неверными при других значениях.

    Равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных, называется тождеством.

    Два выражения, принимающие равные соответственные значения при всех допустимых значениях переменных, называют тождественно равными.

    Замену одного выражения другим, ему тождественно равным, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

    Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью конечного числа знаков арифметических операций (сложения,  вычитания, умножения, деления), называются рациональными выражениями. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит деления на выражение с переменными.

    Примерами целых выражений являются одночлены и многочлены.

    Одночленами называются числа, произведения чисел и натуральных степеней переменных.

    Пример

    Выражения 9, 25x2 и 34abxy4 являются одночленами. 

    Для приведения одночлена к стандартному виду перемножают все входящие в него числовые множители, а произведения одинаковых переменных (или их степеней) заменяют степенью этой переменной.

    Числовой множитель называется коэффициентом одночлена, а сумму показателей степеней переменных называют степенью одночлена. Если одночлен является числом или произведением чисел, то его называют одночленом нулевой степени.

    Пример

    Стандартным видом одночлена 0,3bxy(-2)a2x2y3 является одночлен -0,6a2bx3y4, число (-0,6) является его коэффициентом, степень одночлена равна 10. 

    Многочленом называют сумму одночленов. Одночлен является частным случаем многочлена.

    Одночлены называют подобными одночленами, если после их приведения к стандартному виду они оба либо совпадают, либо отличаются коэффициентами.

    Пример

    Одночлены 2ax2y и -5ax2y являются подобными.

    Преобразование многочлена, при котором производится сложение и вычитание подобных членов, называется приведением подобных.

    Пример

    2ax+3by-ax+0,5by=ax+3,5by. 

    Для приведения многочлена к стандартному виду каждый из входящих в него одночленов заменяют одночленом стандартного вида и приводят подобные члены.

    Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, составляющих многочлен после приведения его к стандартному виду.

    Пример

    Стандартным видом многочлена 2ax5+xy3+3xy3-2ax5+5 является многочлен 4xy3+5, его степень равна 4. 

    Произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго многочлена.

    Пример

    x+y2x2-y=2x3+2x2y-xy-y2. 

    Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов.

    При разложении многочлена на множители используют метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки членов.

    Пример 1

    Разложите на множители многочлен 2x2y+y2-2x3-yx.

    Решение

    Группируя члены многочлена (т. е. представляя его в виде суммы двух многочленов) и вынося общий множитель в каждой группе, получаем 2x2y+y2-2x3-yx=2x2y-2x3+y2-yx=2x2y-x+yy-x. Видим, что многочлен `y-x` является общим множителем для обоих слагаемых. Вынося этот многочлен за скобки, окончательно получаем 2x2y+y2-2x3-yx=y-x2x2+y.

    При тождественных преобразованиях многочленов часто используют формулы, носящие название «формулы сокращенного умножения»

    1. Разность квадратов a2-b2=(a-b)(a+b) a^2 - b^2=(a - b)(a + b)
    2. Разность кубов  a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a^3 - b^3=(a - b) (a^2 + ab + b^2)
    3. Сумма кубов   a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a^3 + b^3=(a + b)(a^2 - ab + b^2)
    4. Квадрат суммы (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
    5. Квадрат разности (a-b)2=a2-2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
    6. Куб суммы (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
    Куб разности  (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3


    Пример 2

    Разложите на множители многочлен x3+x2+x-3. 

    Решение

    Покажем, как, последовательно используя метод группировки, формулы 2 и 1 и метод вынесения общего множителя, можно разложить на множители данный многочлен:x3+x2+x-3=(x3-1)+(x2-1)+(x-1)==(x-1)(x2+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)==(x-1)(x2+x+1+x+1+1)=(x-1)(x2+2x+3).

    Пример 3

    Разложите на множители многочлен 3x2y4-24x5y.

    Решение

    Сначала выносим общий множитель 3x2y за скобку: 

    3x2y4-24x5y=3x2yy3-8x3

    Затем к многочлену y3-8x3 применим формулу для разности кубов:

     y3-8x3=y-2xy2+2xy+4x2

    В результате получим 3x2y4-24x5y=3x2y(y-2x)y2+2xy+4x2. 

    Пример 4

    Разложите на множители многочлен 27x3+y3+3y2+3y+1.

    Решение

    Заметим, что y3+3y2+3y+1=y+13, а 27x3=3x3, тогда получаем 

    3x3+y+13. 

    Применяем формулу 3, получим 

    (3x)3+(y+1)3=(3x+y+1)9x2-3x(y+1)+(y+12). 

    Таким образом,

     27x3+y3+3y2+3y+1=(3x+y+1)(9x2-3xy-3x+y2+2y+1). 

    Пример 5

    Разложим на множители многочлен y8+y4+1. 

    Решение

    Покажем на этом примере ещё один способ разложения на множители. Прибавим и вычтем выражение y4, получаем: 

    y8+y4+1+y4-y4=y8+2y4+1-y4=y4+12-y22.

    А теперь применяем формулу для разности квадратов: 

    y4+12-y22=y4+1+y2y4+1-y2.

  • §6. Задачи на столкновения и законы сохранения импульса и энергии

    В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия  между телами (частицами) в широком смысле слова, а не только в буквальном - как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии являются свободными. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют между собой, в результате могут происходить различные процессы - тела могут соединиться в одно тело (абсолютно неупругий удар), могут возникать новые тела и, наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния. Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими. Тела (частицы), участвующие в столкновении, характеризуются (до и после столкновения)  импульсами и энергиями. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в результате взаимодействия. Законы сохранения энергии и импульса позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении тел. Особенно ценным здесь является то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Так обстоит дело, например, в физике элементарных частиц.

    Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопических тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими – уже хотя бы потому, что они сопровождаются некоторым нагреванием тел, т. е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Тем не менее, в физике понятие об упругих столкновениях играет важную роль. С такими столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, да и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.

    Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляет либо изолированную систему, т. е. на тела, входящие в систему, не действуют внешние силы, либо замкнутую: внешние силы отличны от нуля, а сумма внешних сил равна нулю. Несколько сложнее обстоит дело с применением закона сохранения энергии при столкновениях. Обращение к сохранению энергии  требует порой учёта различных форм внутренней энергии.

    Можно сказать, что действие законов сохранения импульса и энергии в процессах столкновения подтверждено широким спектром опытных данных.

    Неупругие столкновения

    Пример 14

    Частица массой `m` с кинетической энергией `K` сталкивается с неподвижной частицей массой `M`. Найдите приращение `Q` внутренней энергии системы частиц в результате абсолютно неупругого столкновения («слипания»).

    Решение

    Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух тел в ЛСО. Налетающая частица движется до столкновения в положительном направлении оси `Ox` со скоростью `vec v`, кинетическая энергия частицы `K = (mv^2)/2`. В результате абсолютно неупругого удара (слипания) час­тицы движутся с одинаковой скоростью `vec u`. По закону сохранения им­пульса `mv = (m + M) u`. По закону сохранения  энергии

    `(mv^2)/2 = ((m + M)u^2)/2 + Q`.

    Из приведённых соотношений находим `Q = M/(m + M) K`.

     Отметим, что в предельных случаях

    `Q = K`,

    `m < < M`,

    `Q = M/m K < < K`,

    `m > > M`.

    Как видим, при неупругом столкновении лёгкой частицы с массивной (например, электрона с атомом) происходит почти полный переход её кинетической энергии во внутреннюю энергию массивной частицы.

    При равенстве масс  `(m = M)` `Q = K/2`.

    Отсюда следует, например, что при столкновении двух одинаковых ав­томобилей, один из которых неподвижен, а другой движется по на­правлению к нему, половина кинетической энергии идёт на разруше­ние.

    Упругие столкновения

    Пример 15

    На гладкой горизонтальной поверхности лежит гладкий шар массой `M`. На него налетает гладкий шар массой `m`, движущийся со скоростью `vec v`. Происходит упругий центральный удар шаров. Найдите скорости `vecv_1` и `vecv_2` шаров после соударения. При каком условии налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направлении?

    Решение

    Задачу рассмотрим в ЛСО, ось `Ox` которой направим по линии центров шаров в момент соударения. Внешние силы, действующие на  шары в  процессе соударения, это силы тяжести и силы нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю. Следовательно, импульс системы шаров в процессе взаимодействия не изменяется. По закону сохранения импульса   `m vec v = m vecv_1 + M vecv_2`.

    Переходя к проекциям на ось `Ox`, получаем `mv = mv_(1x) + Mv_2`,  здесь учтено, что направление скорости `vecv_1` налетающего шара после соударения не известно. По закону сохранения энергии

    `(mv^2)/2 = (mv_(1x)^2)/2 + (Mv_2^2)/2`.

    Полученные соотношения перепишем в виде

    `m(v - v_(1x)) = Mv_2`,

    `m(v^2 - v_(1x)^2) = Mv_2^2`.

    Разделив второе равенство на первое `(v != v_(1x))`, приходим к линейной системе `v_2 = v + v_(1x)`,  `m(v - v_(1x)) = Mv_2`, решение которой имеет вид

    `v_(1x) = (m - M)/(m + M) v`,   `v_2 = (2m)/(m + M) v`.

    Налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем направ­лении `(v_(1x) > 0)` при `m > M`,  т. е. если масса налетающего шара больше массы по­коящегося шара.

    Пример 16

    Две гладкие упругие круглые шайбы движутся поступательно по гладкой горизонтальной поверхности со скоростями `vecv_1` и `vecv_2`. Найдите скорости `vecv_1^'` и `vecv_2^'` шайб после абсолютно упругого нецентрального соударения. Массы шайб `m_1` и `m_2`.

    Решение

    Задачу рассмотрим в ИСО, оси координат `Ox` и `Oy` которой лежат в горизонтальной плоскости, при  этом ось `Ox` направлена по линии  центров шайб в момент соударения (рис. 16).

    В  течение  времени  соударения на систему шайб действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и силы нормальной реакции. Их сумма равна нулю. Тогда импульс системы шайб в процессе взаимодействия  сохраняется 

    `vecp_1 + vecp_2 = vecp_1^' + vecp_2^'`,      

    здесь `vecp_1 = m_1 vecv_1`, `vecp_2 = m_2 vecv_2`, `vecp_1^' = m_1 vecv_1^'`, `vecp_2^' = m_2 vecv_2^'` - импульсы шайб до и после соударения.

    Так как шайбы идеально гладкие, то в процессе соударения внут­ренние силы -силы упругого взаимодействия - направлены только по оси `Ox`. Эти силы не изменяют `y`-составляющие импульсов шайб. Тогда из `p_(1y) = p_(1y)^'`, `p_(2y) =  p_(2y)^'`  находим `y`-составляющие скоростей шайб после соударения

     `vecv_(1y)^' = v_(1y)`,   `v_(2y)^' = v_(2y)`,

    т. е. в проекции на ось `Oy` скорости шайб в результате соударения не изменились.

    Найдём `x`-составляющие скоростей шайб после упругого соударения. При таком соударении сохраняется кинетическая энергия

    `(m_1 (v_(1x)^2 + v_(1y)^2))/2 + (m_2 (v_(2x)^2 + v_(2y)^2))/2 = (m_1 ((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2))/2 + (m_2 ((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2))/2`.

    С учётом равенства `y`-составляющих скоростей шайб до и после со­ударения последнее равенство принимает вид

    `(m_1 v_(1x)^2)/2 + (m_2 v_(2x)^2)/2 = (m_1 (v_(1x)^')^2)/2 + (m_2 (v_(2x)^')^2)/2`.

    Обратимся к закону сохранения импульса и перейдём к проекциям им­пульсов шайб на ось  `Ox`

    `m_1 v_(1x) + m_2 v_(2x) = m_1 v_(1x)^' + m_2 v_(2x)^'`.

    Таким образом, исходная задача сведена к задаче об абсолютно упру­гом центральном ударе: именно такой вид приняли бы законы сохра­нения энергии и импульса, если бы скорости шайб были направлены по линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений можно свести к линейной. Для этого следует (как и в предыдущей задаче) в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить слагае­мые, относящиеся к первой шайбе, а по другую - ко второй, и разде­лить `(v_(1x) != v_(1x)^')` полученные соотношения. Это приводит к линей­ному уравнению

    `v_(1x) + v_(1x)^' = v_(2x) + v_(2x)^'`.

    Решая систему из двух последних уравнений, находим

    `v_(1x)^' = ((m_1 - m_2) v_(1x) + 2m_2 v_(2x))/(m_1 + m_2)`,

    `v_(2x)^' = (2m_1 v_(1x) + (m_2 - m_1) v_(2x))/(m_1 + m_2)`.

    Полученные соотношения для `v_(1x)^'`, `v_(1y)^'` и `v_(2x)^'`, `v_(2y)^'` решают вопрос о проекциях и величинах скоростей шайб после соударения

     `v_1^' = sqrt((v_(1x)^')^2 + (v_(1y)^')^2)`,      `v_2^' = sqrt((v_(2x)^')^2 + (v_(2y)^')^2)`, 

    а также об углах `alpha_1` и `alpha_2`, которые векторы скорости `vecv_1^'` и `vecv_2^'` образуют с положительным направлением оси `Ox`:

    `bbb"tg"  alpha_1 = (v_(1y)^')/(v_(1x)^')`,   `bbb"tg"  alpha_2 = (v_(2y)^')/(v_(2x)^')`.

    Построенное в общем виде решение задач упругого центрального и нецентрального соударений открывает дорогу к анализу целого ряда задач, для которых рассмотренная модель соответствует характеру взаимодействия тел (частиц).

  • §7. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и следствия

    Напомним вывод этой теоремы. По второму закону Ньютона

    `m Delta vec v = vec F Delta t`.

    Умножим обе части этого равенства скалярно на `vec v`, получим

    `m (vec v * Delta vec v) = (vec F * vec v Delta t)`.

    Это соотношение устанавливает равенство `Delta K = Delta A` на каждом элементарном перемещении приращения кинетической энергии

    `Delta K = m ((vec v + Delta vec v)^2)/2 - m ((vec v)^2)/2 ~~ m(vec v * Delta vec v)`

    и работы равнодействующей

    `Delta A = (vec F * Delta vec r) = (vec F * vec v Delta t)`

    на этом перемещении.

    Суммируя такие равенства вдоль произвольной траектории,  приходим к теореме об изменении кинетической энергии на конечных перемещениях:

    Теорема

    На любых перемещениях приращение кинетической энергии материальной точки равно сумме работ всех сил

    `K_2 - K_1 = sum_i A_i`.

    Если среди сил есть потенциальные, то работа такой силы традиционно принимается равной взятому с обратным знаком приращению потенциальной энергии A=-П2-П1A=-\left(П_2-П_1\right).

    Из этих соотношений получаем теорему об изменении полной механической энергии (суммы кинетической и потенциальной энергий) материальной точки

    Теорема

    П2+K2-П1+K1=\left(П_2+K_2\right)-\left(П_1+K_1\right)=`sum_i A_(i  sf"непотенц")`,

    т. е. на любых перемещениях приращение полной механической энергии материальной точки равно сумме работ всех не потенциальных сил.

    Отсюда следует: если не потенциальные силы отсутствуют или их работа равна нулю, то полная механическая энергия материальной точки, сохраняется.

    Это утверждение -  закон сохранения полной механической энергии материальной точки.

    Пример 17

    На заснеженном склоне с углом наклона `alpha` к горизонту коэффициент трения скольжения лыжника на высотах меньших `h` равен `mu_1 (mu_1 >  "tg"  alpha)`, на больших высотах коэффициент трения скольжения лыжника равен `mu_2 (mu_2 < "tg"  alpha)`. С какой высоты `H` следует стартовать лыжнику с нулевой начальной скоростью, чтобы доехать до основания склона с нулевой конечной скоростью?

    Решение

    По условию `mu_2 < "tg"  alpha`, `mu_1 > "tg" alpha`. Тогда при спуске лыжника на верхнем участке склона `F_(sf"тр"2) = mu_2 mg cos alpha < mg sin alpha`, лыжник движется равноускорено. На нижнем участке склона

    `F_(sf"тр"1) = mu_1 mg cos alpha > mg sin alpha`,

    лыжник движется равнозамедленно. При движении лыжника по склону от старта до финиша:

    приращение потенциальной энергии, отсчитанной от нуля у основания склона, равно П2-П1=-mgHП_2-П_1=-mgH,

    приращение кинетической энергии  `K_2 - K_1 = 0`, работа силы трения скольжения

    `A_12 =- mu_2 mg cos alpha * (H - h)/(sin alpha) - mu_1 mg cos alpha h/(sin alpha) =`

    `=- (mg)/("tg"  alpha) (mu_2 H + (mu_1 - mu_2) h)`.

    По теореме об изменении полной механической энергии

    K2+П2-K1+П1=A12\left(K_2+П_2\right)-\left(K_1+П_1\right)=A_{12}.

    В рассматриваемом случае `- mgH =- (mg)/("tg"  alpha) (mu_2 H + (mu_1 - mu_2 )h)`.

    Отсюда `H = (mu_1 - mu_2)/("tg"  alpha - mu_2) h`.

  • §5. Сохранение импульса системы материальных точек

    Из теоремы об изменении  импульса системы  материальных  точек `(Delta vecP_("c"))/(Delta t) = sum_i vecF_i` следует сохранение импульса или его проекций в следующих случаях:

    если  `sum_i vecF_i = vec 0`, то `vecP_("c")` остаётся неизменным по величине и на­правлению;

    если существует направление `x` такое, что `sum_i F_(i,x) = 0`, то `P_(c,x) = "const"`.  

    Наконец, если на малом интервале времени внешние силы конечные и импульс этих сил за время действия во много раз меньше по вели­чине импульса системы `|sum_i vecF_i| Delta t < < |vecP_("c") (t)|`, то из равенства

    `Delta vecP_("c") = vecP_("c") (t + Delta t) - vecP_("c") (t) = (sum_i vecF_i) Delta t`

    следует `Delta vecP_("c") ~~ vec 0`, т. е. сохранение импульса на рассматриваемом интер­вале времени `vecP_("c") (t + Delta t) = vecP_("c") (t)`.

    Пример 10

    Артиллерист стреляет ядром массы `m` так, чтобы оно упало в неприятельском лагере. На вылетевшее из пушки ядро садится барон Мюнхгаузен, масса которого `5m`. Какую часть пути до неприятельского лагеря ему придётся идти пешком? 

    Решение

    Вы, конечно, догадались, что эта задача иллюстрирует последний из перечисленных случаев сохранения импульса системы. В процессе «посадки» барона на ядро на систему «ядро + барон» действуют внешние силы - это силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Но барон столь ловок и устраивается на ядро столь быстро, что импульс этих конечных сил за время «посадки» барона на ядро значительно меньше по величине импульса `m vecv_0` ядра  непосредственно перед  «посадкой». Тогда скорость `vecv_0` ядра за мгновение до встречи со сказочным персонажем и скорость `vecv_1` системы «барон на ядре» связаны законом сохранения импульса системы

    `m vecv_0 = 6m vecv_1`,

    так что скорость ядра сразу после того, как Мюнхгаузен устроится на нём поудобнее, уменьшится в `6` раз. Следовательно, в такое же число раз уменьшатся: длительность полёта (равная удвоенному частному от деления  начальной вертикальной составляющей скорости на величину ускорения свободного падения)и горизонтальная составляющая скорости. Дальность полёта, равная произведению этих величин, уменьшится в `36` раз, тогда оставшиеся после благополучного приземления `(35)/(36)` расстояния до неприятельского лагеря, барону предстоит пройти пешком!

    Пример 11

    На гладкой горизонтальной поверхности лежит соломинка массой `M` и длиной  `L`. Жук массой `m` перемещается по соломинке с одного конца на другой.  На какое расстояние `S` переместится  соломинка?

    Решение

    Рассмотрим систему тел «жук + соломинка». На каждом элементарном промежутке времени приращение `Delta vecP_("c")` импульса этой системы равно суммарному импульсу действующих на систему внешних сил: т. е. сил тяжести и силы нормальной реакции

    `Delta vecP_("c") = M Delta vecv_1 + m Delta vecv_2 = ((M + m) vecg + vec N) Delta t`,

    здесь `vecv_1` - скорость соломинки, `vecv_2` - скорость жука. Обе скорости определены в лабораторной системе отсчёта. Сумма сил тяжести и нормальной реакции  равна нулю. Тогда импульс системы  «жук + соломинка» в процессе движения остаётся постоянным, равным своему начальному значению:

    `M vecv_1 + m vecv_2 = vec 0`.

    Поскольку задано перемещение жука в системе отсчёта, связанной с соломинкой, обратимся к правилу сложения скоростей `vecv_2 = vecv_1 + vec u`, здесь `vec u` - скорость жука относительно соломинки. Перейдём в этом равенстве к проекциям на горизонтальную ось, получим `v_(2,x) = v_(1,x) + u_(x')`.

    С учётом правила сложения скоростей закон сохранения импульса принимает вид `Mv_(1,x) + m (v_(1,x) + u_(x')) = 0`, т. е. в любой момент времени  

    `v_(1,x) =- m/(M + m) u_(x')`.  

    Тогда элементарные перемещения: `Delta x_1 = v_(1,x) Delta t` - соломинки относительно лабораторной системы отсчёта и `Delta x' = u_(x') Delta t` - жука относительно соломинки, связаны соотношением `Delta x_1 =- m/(M + m) Delta x'`.

    Суммируя элементарные перемещения по всему времени движения и переходя к абсолютным величинам, приходим к ответу на вопрос за­дачи 

    `S = m/(m + M) L`.

    Пример 12

    Клин массой `2m` и углом наклона к горизонту `alpha (cos alpha = 2//3)` находится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рис. 12). Через блок, укреплённый на вершине клина, перекинута лёгкая нить, связывающая грузы, массы которых равны `m` и `3m`. Груз массой `3m` может скользить вдоль вертикальной направляющей `AB`, закреплённой на клине. Этот груз удерживают неподвижно на расстоянии `H = 27 sf"см"` от стола, а затем отпускают. В результате грузы и клин движутся поступательно. На какое расстояние `S` сместится клин к мо­менту удара груза массой `3m` о стол? Массы блока и направляющей `AB` считайте пренебрежимо малыми.

                    

    Решение

    Рассмотрим систему тел «клин + грузы» (рис. 13).

    На каждом элементарном промежутке времени приращение `Delta vecP_("c")` импульса системы равно суммарному импульсу действующих на систему внешних сил: тяжести и нормальной реакции горизонтальной опоры

    `Delta vecP_("c") = (6 m vec g + vec N) Delta t`. 

    Проекции  сил  тяжести и нормальной  реакции на горизонтальную ось нулевые. Следовательно, в процессе движения горизонтальная состав­ляющая импульса системы «клин + грузы» остаётся постоянной, равной своему начальному значению - нулю:

    `(2m + 3m) v_(x,sf"к") + mv_(x,sf"г") = 0`,

    здесь `v_(x,sf"к")` - проекция скорости клина и груза массой `3m` на горизон­тальную ось, `v_(x,sf"г")` - проекция скорости груза массой `m` на эту же ось. В системе отсчёта, связанной с клином, модули любых элементарных перемещений грузов равны вследствие нерастяжимости нити. Следовательно, в этой системе модуль перемещения лёгкого груза в проекции на горизонтальную ось за время движения равен `H cos alpha`. Тогда воспользуемся результатами предыдущей задачи. По правилу сложения скоростей `vecv_("г") = vecv_("к") + vec u`, здесь `vec u` - скорость лёгкого груза в системе отсчёта, связанной с  клином. С учётом этого соотношения закон сохранения импульса принимает вид

    `(2m + 3m) v_(x,sf"к") + m(v_(x,sf"к") + u_(x')) = 0`.

    Отсюда находим связь проекций скорости

    `v_(x,sf"к") = - m/(6m) u_(x') = - u_(x')/6`

    и  элементарных перемещений:

    `Delta x_sf"к" =- (Delta x')/6`,

    где `Delta x_sf"к"` - перемещение клина относительно лабораторной системы, `Delta x'` - проекция перемеще­ния лёгкого груза на горизонтальную ось в системе отсчёта, связанной с клином. Суммируя элементарные перемещения по всему времени движения и переходя к абсолютным величинам, приходим к ответу на вопрос задачи

    `S = (H cos alpha)/6 = (27*2)/(6*3) = 3 sf"см"`.

    Пример 13

    По клину массой `M`, находящемуся на гладкой горизонтальной плоскости, скользит шайба массой `m`. Гладкая наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол `alpha`.  Определите величину  `a_1` ускорения  клина.

    Решение

    Для определения ускорения клина рассмотрим движение каждого  из  тел. Силы,  приложенные к  телам,  указаны  на рис. 14.

              

    Запишем второй закон Ньютона для клина `M veca_1 = M vec g + vec P + vec R` и для шайбы `m veca_2 = m vec g + vec N`. Переходя к проекциям сил и ускорений на оси ЛСО с учётом `vec P =- vec N` получаем    

    `Ma_(1x) = N sin alpha`,  `ma_(2x) =- N sin alpha`,  `ma_(2y) =- mg + N cos alpha`.

    Скорость `vecv_2`  шайбы в ЛСО, скорость `vec u` шайбы относительно клина и скорость `vecv_1` клина связаны законом сложения скоростей  `vecv_2 = vecv_1 + vec u`. Дифференцируя это равенство по времени находим связь соответствующих ускорений `veca_2 = veca_1 + veca_("отн")`. Из треугольника ускорений (рис. 15) следует

    `bbb"tg" alpha = (a_(2y))/(a_(2x) - a_(1x))`.

    Подставляя в последнее равенство выражения для проекций ускорения шайбы

    `a_(2x) =- M/m a_(1x)`   и   `a_(2y) =- g + a_(1x) M/m "ctg"  alpha`,

    после несложных преобразований приходим к ответу на вопрос задачи

     `a_(1x) = 1/2 (m sin 2 alpha)/(M + m sin^2 alpha) g`.

    Рассмотренные примеры подчёркивают важную роль законов сохранения.

    Решение прямой задачи динамики, т. е. определение траектории по заданным силам и начальным условиям, упрощается в тех случаях, когда удаётся заменить уравнения Ньютона другими, эквивалентными им, но не содержащими ускорений. Эти уравнения, являющиеся математическим следствием уравнений Ньютона, и связывающие скорости (импульсы) точек с их координатами, называют законами сохранения. Проиллюстрируем это на примере задач о столкновениях частиц.


  • §3. Законы Ньютона. Импульс или количество движения материальной точки

    В основе динамики материальной точки лежат законы (аксиомы) Ньютона. Напомним ключевые определения и законы.

    Система отсчёта, в которой  любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами (такая точка называется свободной), движется равномерно и прямолинейно или покоится, называется инерциальной.

    1-й закон:

    инерциальные системы отсчёта (ИСО) существуют

    2-й закон: 

    в ИСО приращение импульса материальной точки пропорционально силе и происходит по направлению силы:

    `Delta vec p = vec F * Delta t`.

    Импульсом (или количеством движения) материальной точки называют физическую величину, определяемую произведением её массы на вектор скорости в  данной системе отсчёта:

    `vec p = m * vec v`.

    `vec F` - сумма сил, действующих на материальную точку. Величину `vec F * Delta t` называют импульсом силы за время от `t` до `t + Delta t`, в течение которого силу можно считать неизменной по величине и направлению. Величину `Delta vec p = vec p (t + Delta t) - vec p (t)` называют приращением импульса материальной точки  за время от `t` до `t + Delta t`. Поэтому второй закон Ньютона для материальной точки можно сформулировать так:

    в ИСО приращение импульса материальной точки  равно импульсу силы.

    Отметим, что при изучении динамики второй закон Ньютона часто формулируют следующим образом:

    в ИСО ускорение материальной точки прямо пропорционально сумме сил, действующих на неё, и обратно пропорционально её массе:

    `vec a = vec F/m`.

    Действительно, если масса тела остаётся неизменной, то

    `Delta vec p = Delta (m vec v) = m Delta vec v = vec F Delta t`.

    С учётом равенства `vec a = (Delta vec v)/(Delta t)` приходим к эквивалентности приведённых формулировок второго закона.

    Далее в Задании представлены задачи, иллюстрирующие применение законов Ньютона и их следствий: теорем об изменении импульса и энергии в механике.

    3-й закон:

    при взаимодействии двух материальных точек сила `vecF_(12)`, действующая на первую материальную точку со стороны второй, равна по величине и противоположна по направлению силе `vecF_(21)`, действующей со стороны первой материальной точки на вторую:

    `vecF_(12) = - vecF_(21)`.

    Третий закон Ньютона - это совокупность утверждений:

    1. силы возникают парами и имеют одинаковую природу, они приложены к разным материальным точкам,

    2. эти силы равны по величине,

    3. они действуют вдоль одной прямой в противоположных направлениях.

    Заметим, что согласно третьему закону Ньютона обе силы должны быть равны по величине в любой момент времени независимо от движения взаимодействующих тел. Другими словами, если в системе двух взаимодействующих тел изменить положение одного из тел, то это изменение мгновенно скажется на  другом теле, как бы далеко оно ни находилось. На самом деле скорость распространения взаимодействий конечная; она не может превзойти скорость света в вакууме. Поэтому третий закон Ньютона имеет определённые пределы применимости. Однако в классической механике при малых скоростях взаимодействующих тел он выполняется с большой точностью.

    Второй закон Ньютона (уравнение движения) можно представить в виде теоремы об изменении импульса материальной точки:

    `(Delta vec p)/(Delta t) = vec(F)`.

    Скорость изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчёта равна сумме сил, действующих на эту точку.

    Напомним, что для решения задач динамики материальной точки следует:

    привести «моментальную фотографию» движущегося тела,  указать приложенные к нему силы;

    выбрать инерциальную систему отсчёта,

    привести «моментальную фотографию» движущегося тела,  указать приложенные к нему силы,

    составить уравнение динамики,

    перейти к проекциям приращения импульса и сил на те или иные направления,

    решить полученную систему.

    Рассмотрим характерные примеры.

    Пример 4

    К телу, первоначально покоившемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, прикладывают в течение времени `t_1 = 10  sf"с"` горизонтальную силу величиной `F = 5  sf"H"`. После прекращения действия силы тело движется до остановки `t_2 = 40  sf"с"`. Определите величину `F_sf"тр"` силы трения скольжения, считая её постоянной.

    Решение

    На рис. 4 показаны ИСО и силы, действующие на тело в процессе разгона. По второму закону Ньютона

    `(Delta vec p)/(Delta t) = M vec g + vec N + vecF_("тр") + vec F`.

    Переходя к проекциям на горизонтальную ось, находим элементарные приращения импульса в процессе разгона

    `Delta p_x = (F - F_sf"тр" ) Delta t`

    и в процессе торможения `(F = 0)`

    `Delta p_x =- F_sf"тр" Delta t`.

    Просуммируем все приращения импульса тела от старта до остановки

    `sum Delta p_x = sum_(0 <= t <=t_1) (F - F_sf"тр" )Delta t + sum_(t_1 <= t <= t_1 + t_2) (- F_sf"тр") Delta t`.

    Напомним, что для любой физической величины сумма приращений равна разности конечного и начального значений. Тогда

    `p_(x  sf"конечн") - p_(x  sf"начальн") = (F - F_sf"тр") t_1 + (- F_sf"тр") t_2`. 

    С учётом равенств `p_(x  sf"конечн") = 0`, и `p_(x  sf"начальн") = 0` независимости сил от времени приходим к ответу на вопрос задачи:

    `F_sf"тр" = (t_1)/(t_1 + t_2) F = (10)/(10 + 40) * 5 = 1  sf"H"`.

    На ЕГЭ и олимпиадах в вузах РФ регулярно предлагаются задачи динамики, в которых наряду с привычными для школьника силой тяжести, силой Архимеда и т. д., на тело действует сила лобового сопротивления. Такая сила возникает, например, при движении тел в жидкостях и газах. Вопрос о движении тел в жидкостях и газах имеет большое практическое значение. Знакомство с действием такого рода сил уместно начинать, как это принято в физике, с простейших модельных зависимостей, в которых сила сопротивления принимается пропорциональной скорости или её квадрату.

    Пример 5

    Мяч, брошенный с горизонтальной поверхности земли под углом `alpha = 60^@` к горизонту со скоростью `v_0 = 10  sf"м/с"`, упал на землю. В момент падения скорость меньше начальной по величине на `delta = 0,3`. Найдите продолжительность `T` полёта мяча. Силу сопротивления считайте пропорциональной скорости `vec F =- k vec v`, `k > 0`.

    Решение

    Согласно  второму закону Ньютона приращение импульса пропорционально силе и происходит по направлению силы

    `m * Delta vec v = (m vec g - k vec v) * Delta t`,

    переходя к проекциям сил и приращения скорости  на вертикальную ось, получаем

    `m * Delta v_y =- mg * Delta t - k * v_y * Delta t`.

    Заметим, что элементарное перемещение мяча по вертикали равно `Delta y = v_y * Delta t`,  и перепишем  последнее соотношение в виде,

    `m * Delta v_y =- mg * Delta t - k * Delta y`.

    Просуммируем все приращения вертикальной проекции импульса по всему времени полёта, т. е. от `t = 0` до `t = T`

    `m * (sum Delta v_y) =- mg * (sum Delta t) - k * (sum Delta y)`.

    Переходя к конечным приращениям, получаем

    `m (v_y (T) - v_y (0)) =- mg(T - 0) - k(y(T) - y (0))`.

    Точки старта и финиша находятся в одной горизонтальной плоскости, поэтому перемещение мяча по вертикали за время полёта нулевое `y(T) - y(0) = 0`.

    Тогда `- (1 - delta) mv_0 sin alpha - mv_0 sin alpha =- mgT`.

    Отсюда находим продолжительность полёта мяча 

    `T = (v_0 sin alpha)/(g) (2 - delta) = (10 * sin 60^@)/(10) (2,0 - 0,3) ~~ 1,5  sf"с"`.

    В следующем  примере  рассматривается удар, в ходе которого две  очень большие силы,  «согласованно»  действуют во взаимно перпендикулярных направлениях

    Пример 6

    Кубик, движущийся поступательно со скоростью `v` (рис. 5) по гладкой горизонтальной поверхности, испытывает соударение с  шероховатой  вертикальной  стенкой. Коэффициент трения скольжения кубика по стенке `mu` и угол `alpha` известны. Одна из граней кубика параллельна стенке. Под каким углом `beta` кубик отскочит от стенки? Считайте, что перпендикулярная стенке составляющая скорости кубика  в  результате  соударения не изменяется по величине.

                              

    Решение

    Силы, действующие на кубик в процессе соударения, показаны на рис. 6. По второму закону Ньютона

    `Delta vec p = (m vec g + vec(N_sf"Г") + vec(F_sf"тр") + vec(N_sf"В")) * Delta t`.

    Переходя к проекциям на горизонтальные оси `Ox` и `Oy`, получаем

    `Delta p_x =- F_sf"тр" Delta t`,  `Delta p_y = N_sf"В" Delta t`.

    Просуммируем приращения `Delta p_y = N_sf"В" Delta t` по всему времени `tau` соударения, получим

    `sum Delta p_y = p_y (tau) - p_y (0) = mv sin alpha - (- mv sin alpha) = sum_(0 <= t <= tau) N_sf"В" Delta t`.

    В процессе удара в любой момент времени `F_sf"тр" = mu N_sf"В"`, следовательно, во столько же раз отличаются импульсы этих сил за время соударения

    `sum_(0 <= t <= tau) F_sf"тр" Delta t = mu sum_(0 <= t <= tau) N_sf"В" Delta t = mu 2 mv sin alpha`.

    Тогда легко вычислить проекцию `v_x (tau)` скорости кубика после соударения. Для  этого  просуммируем  приращения  `Delta p_x =- F_sf"тр" Delta t =- mu N_sf"В" Delta t` по всему времени `tau` соударения, получим

    `sum Delta p_x = p_x (tau) - p_x (0) = mv_x (tau) - mv cos alpha =- sum_(0 <= t <= tau) F_sf"тр" Delta t =- mu 2 mv sin alpha`.

    Отсюда `v_x (tau) = v (cos alpha - 2 mu sin alpha)`.

    Далее считая, `v_x (tau) > 0`,  получаем `bbb"tg"  beta = (v_y (tau))/(v_x (tau)) = (sin alpha)/(cos alpha - 2 mu sin alpha)`.

    Далее рассмотрим две характерные задачи динамики равномерного движения по окружности.

    Пример 7

    Массивный шарик, подвешенный на лёгкой нити, движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости. Расстояние  от точки подвеса нити до плоскости, в которой происходит движение, равно `H`. Найдите период `T` обращения шарика.

    Решение

    Введём обозначения: `L` - длина нити, `alpha` - угол, образуемый нитью с вертикалью, `r = L sin alpha` - радиус окружности (рис. 7), по которой движется шарик со скоростью `v`.

    Заметим,  что `H = L cos alpha`. Обратимся к динамике. На шарик действуют сила тяжести `m vec g` и сила натяжения `vec F` нити. Эти силы сообщают шарику направленное к центру окружности нормальное ускорение, по величине равное `a = (4 pi^2)/(T^2) r`.

    В инерциальной системе отсчёта основным уравнением динамики материальной точки является второй закон Ньютона `m vec a = vec F + m vec g`. При таком движении сумма сил, так же как и ускорение, в любой момент времени направлена  к центру окружности. Тогда, переходя  в уравнении движения к скалярной форме записи, удобно перейти не к проекциям сил и ускорения на оси `Ox`, `Oy` инерциальной системы отсчёта, а к проекциям сил и ускорения на два направления, а именно: на подвижное направление -направление внутренней нормали к траектории, считая положительным направление к центру  окружности,

    `m * (4 pi^2)/(T^2) r = F sin alpha`,

    и на вертикаль `0 = F cos alpha - mg`.

    Исключив из этих соотношений силу натяжения,  приходим к ответу

    `T = 2 pi sqrt(H/g)`.

    Период обращения конического маятника зависит только от расстояния от точки подвеса до плоскости движения.

    Пример 8

    Маленький деревянный шарик прикреплён с помощью нерастяжимой нити длиной `l = 30  sf"см"` ко дну цилиндрического сосуда с водой. Расстояние от центра дна до точки закрепления нити `r = 20  sf"см"`. Сосуд раскручивают вокруг вертикальной оси, проходящей через  центр дна. При какой угловой скорости вращения нить отклонится от вертикали на угол `alpha = 30^@`?   

    Решение

    Нить с шариком отклонится к оси вращения. Действительно, на шарик будут действовать три силы: сила тяжести `m vec g`, сила натяжения `vec T` нити  и сила Архимеда `vec F` (рис. 8).

    Найдём эту силу. Обозначим объём шарика `V`, плотность дерева, из которого изготовлен шарик `rho_sf"ш"`, плотность воды `rho_sf"в"`, и рассмотрим движение жидкости до погружения в неё шарика. Любой элементарный объём  воды равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Следовательно, вертикальная составляющая суммы сил давления (силы Архимеда) `F_(A,z)` уравновешивает  силу  тяжести,  действующую на жидкость  в  рассматриваемом объёме, горизонтальная составляющая `F_(A,r)` сообщает этой жидкости центростремительное ускорение. При замещении жидкости шариком эти составляющие не изменяются. Тогда вертикальная составляющая силы Архимеда, действующей на шарик, по величине равна `F_(A,z) = rho_sf"в" Vg`, а направленная к оси вращения составляющая силы Архимеда по величине равна `F_(A,r) = rho_sf"в" V omega^2 (r - l sin alpha)`. Под действием приложенных сил шарик движется равномерно по окружности радиуса `(r - l sin alpha)` в горизонтальной плоскости. Из второго закона Ньютона `m vec a = m vec g + vec T + vec F`, переходя к проекциям сил и ускорения на вертикальную ось, находим

    `rho _sf"в" Vg - rho_sf"ш" Vg - T cos alpha = 0`,

    проектируя силы и ускорения в горизонтальной плоскости на нормальное направление, получаем

    `rho _sf"ш" V omega^2 (r - l sin alpha) = rho_sf"в" V omega^2 (r - l sin alpha) - T sin alpha`.

    Исключая `T` из двух последних соотношений, находим искомую угловую скорость

    `omega = sqrt((g  bbb"tg"  alpha)/(r - l sin alpha)) ~~ 10,7 sf"с"^-1`.

  • §4. Импульс системы материальных точек. Теорема об изменении импульса системы материальных точек

    Рассмотрим систему материальных точек массами `m_1`, `m_2``...`, движущихся в произвольной ИСО со скоростями `vecv_1`, `vecv_2``...`. Импульсом `vecP_("c")` системы материальных точек называют векторную сумму импульсов материальных точек, составляющих  систему, `vecP_("c") = vecp_1 + vecp_2 + ...`.

    Найдём скорость `(Delta vecP_("c"))/(Delta t)` изменения импульса системы материальных точек (ответ на такой вопрос для одной материальной точки нам известен). Для примера рассмотрим систему двух материальных точек. Будем считать, что на первую материальную точку  действуют суммарной силой `vecF_1` внешние по отношению к системе тела и внутренняя сила `vecf_(12)` со стороны второго тела. В свою очередь, на вторую материальную точку действуют внешние по отношению к системе тела, сумма этих сил `vecF_2`, и внутренняя сила `vecf_(21)` со стороны первого тела. Тогда с учётом второго закона Ньютона для каждого тела получаем

    `(Delta vecP_("c"))/(Delta t) = (Delta vecp_1)/(Delta t) + (Delta vecp_2)/(Delta t) = (vecF_1 + vecf_(12)) + (vecF_2 + vecf_(21))`.

    По третьему закону Ньютона `vecf_(12) + vecf_(21) = vec 0`,  и мы приходим к теореме об  изменении импульса системы  материальных  точек

    `(Delta vecP_("c"))/(Delta t) = vecF_1 + vecF_2`,

    скорость изменения импульса системы материальных точек равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

    Из приведённого доказательства следует, что третий закон Ньютона можно сформулировать и как требование сохранения импульса системы  взаимодействующих  тел,  если  нет  никаких других внешних сил. В этом - его более глубокое физическое содержание.

    Пример 9

    Клин массой `M` находится на шероховатой горизонтальной поверхности стола. На клин положили брусок массой `m` и отпустили. Брусок стал соскальзывать, а клин остался в покое. Коэффициент трения скольжения бруска по  поверхности клина равен `mu`, наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол `alpha`. Найдите горизонтальную `R_1` и вертикальную `R_2` силы (рис. 9), с которыми клин действует на опору.


    Решение

    По третьему закону Ньютона искомые силы связаны с силой трения `vecR_1 =- vecF_("тр"` и силой нормальной реакции `vecR_2 =- vecN_("г")`, действующими на клин со стороны опоры (рис. 10). Силы `vec(F_sf"тр")` и `vec(N_sf"г")`, наряду с силами тяжести, являются внешними по отношению к системе «клин + брусок»  и  определяют скорость  изменения импульса этой системы.

              

    Импульс `vecP_("c")` системы направлен по скорости бруска и по величине  равен  произведению массы бруска на его скорость `vecP_("c") = vec p = m vec v (t)`. Для определения скорости изменения импульса `vec p` бруска обратимся ко второму закону Ньютона (рис. 11):

    `(Delta vecp)/(Delta t) = m vec g + vec N + vec(f_sf"тр"`.

    Переходя к проекциям приращений импульса бруска и сил на оси `Oy` и `Ox` с учётом соотношения `f_sf"тр" = mu N`, получаем

    `(Delta p_y)/(Delta t) = 0 = N - mg cos alpha`,  `(Delta p_x)/(Delta t) = mg(sin alpha - mu cos alpha)`.

    По теореме об изменении импульса системы «клин + брусок»

    `(Delta vecP_("c"))/(Delta t) = M vec g + m vec g + vecN_("г") + vecF_("тр")`.

    Переходя в последнем равенстве к проекциям на горизонтальное  и вертикальное  направления с учётом 

    Pc,x~=pxcosαP_{c,\widetilde x}=p_x\cos\alpha,  Pc,y~=-pxsinαP_{c,\widetilde y}=-p_x\sin\alpha,

    получаем

    Pc,x~t=pxcosαt=mgsinα-μcosαcosα=Fтр\dfrac{\triangle P_{c,\widetilde x}}{\triangle t}=\dfrac{\triangle\left(p_x\cos\alpha\right)}{\triangle t}=mg\left(\sin\alpha-\mu\cos\alpha\right)\cos\alpha=F_\mathrm{тр},

    Pc,y~t=-pxsinαt=-mgsinα-μcosαsinα=-M+mg+Nг\dfrac{\triangle P_{c,\widetilde y}}{\triangle t}=\dfrac{\triangle\left(-p_x\sin\alpha\right)}{\triangle t}=-mg\left(\sin\alpha-\mu\cos\alpha\right)\sin\alpha=-\left(M+m\right)g+N_\mathrm г.

    Отсюда находим искомые силы

    `R_1 = F_sf"тр" = mg(sin alpha - mu cos alpha) cos alpha`,

    `R_2 = N_sf"г" = (M + m) g - mg(sin alpha - mu cos alpha) sin alpha`.