Опубликовал
Кочерова А. С. 57 статей

Математика 11 класс М-11-1

5. Однородные уравнения и системы

  • Опубликовал Кочерова А. С.
  • 6 сентября 2017 г. 17:16:56 +03
  • 0 комментариев
  • 84 просмотра

Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`. Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2`   является однородной степени 4, т. к.

`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2)`.

Уравнение `f(x, y) =0`, где `f(x, y)` - однородная функция, называется однородным. Оно сводится к уравнению с одним неизвестным, если ввести новую переменную `t= y/x`.

Система с двумя переменными fx,y=a,gx,y=b\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a,\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right., где `f(x,y)`, `g(x,y)` - однородные функции одной и той же степени, называется однородной.

Если  `ab!= 0`, умножим первое уравнение на `b`, второе - на `a`  и вычтем одно из другого - получим равносильную систему

bfx,y-agx,y=0,gx,y=b.\left\{\begin{array}{l}bf\left(x,y\right)-ag\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=b.\end{array}\right.

Первое уравнение заменой переменных `t= x/y` (или `t= y/x`) сведётся к уравнению с одним неизвестным. 

Если  `a=0` `(b=0)`, то уравнение `f(x,y)=0` `(g(x,y)=0)` заменой переменных `t= x/y` (или `t= y/x`) сведётся к уравнению с одним неизвестным. 

Пример 20 (МГУ, 2001, химфак) 

Решите систему 

x2-xy+y2=21,y2-2xy+15=0.\left\{\begin{array}{l}x^2-xy+y^2=21,\\y^2-2xy+15=0.\end{array}\right.

Решение

x2-xy+y2=21,y2-2xy=-155x2-xy+y2+7y2-2xy=0,y2-2xy=-15\left\{\begin{array}{l}x^2-xy+y^2=21,\\y^2-2xy=-15\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5\left(x^2-xy+y^2\right)+7\left(y^2-2xy\right)=0,\\y^2-2xy=-15\end{array}\right.\Leftrightarrow

x0, y0;5x2-19xy+12y2=05xy2-19xy+12=0xy=19±1110,y2-2xy=-15\left\{\begin{array}{l}x\neq0,\;y\neq0;\\5x^2-19xy+12y^2=0\Leftrightarrow5\left(\dfrac xy\right)^2-19\left(\dfrac xy\right)+12=0\Leftrightarrow\dfrac xy=\dfrac{19\pm11}{10},\\y^2-2xy=-15\end{array}\right.\Leftrightarrow

x=3y,y2=3;x=±33,y=±3;x=45y,y2=25x=±4,y=±5.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=3y,\\y^2=3;\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\pm3\sqrt3,\\y=\pm\sqrt3;\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac45y,\\y^2=25\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\pm4,\\y=\pm5.\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow


Ответ

`(3sqrt3; sqrt3), (-3sqrt3; -sqrt3), (4;5), (-4;-5)`.