Опубликовал
Кочерова А. С. 57 статей

Физика 11 класс Ф-11-1

7. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и следствия

  • Опубликовал Кочерова А. С.
  • 4 сентября 2017 г. 18:40:55 +03
  • 0 комментариев
  • 92 просмотра

Напомним вывод этой теоремы. По второму закону Ньютона

`m Delta vec v = vec F Delta t`.

Умножим обе части этого равенства скалярно на `vec v`, получим

`m (vec v * Delta vec v) = (vec F * vec v Delta t)`.

Это соотношение устанавливает равенство `Delta K = Delta A` на каждом элементарном перемещении приращения кинетической энергии

`Delta K = m ((vec v + Delta vec v)^2)/2 - m ((vec v)^2)/2 ~~ m(vec v * Delta vec v)`

и работы равнодействующей

`Delta A = (vec F * Delta vec r) = (vec F * vec v Delta t)`

на этом перемещении.

Суммируя такие равенства вдоль произвольной траектории,  приходим к теореме об изменении кинетической энергии на конечных перемещениях:

Теорема

На любых перемещениях приращение кинетической энергии материальной точки равно сумме работ всех сил

`K_2 - K_1 = sum_i A_i`.

Если среди сил есть потенциальные, то работа такой силы традиционно принимается равной взятому с обратным знаком приращению потенциальной энергии A=-П2-П1A=-\left(П_2-П_1\right).

Из этих соотношений получаем теорему об изменении полной механической энергии (суммы кинетической и потенциальной энергий) материальной точки

Теорема

П2+K2-П1+K1=\left(П_2+K_2\right)-\left(П_1+K_1\right)=`sum_i A_(i  sf"непотенц")`,

т. е. на любых перемещениях приращение полной механической энергии материальной точки равно сумме работ всех не потенциальных сил.

Отсюда следует: если не потенциальные силы отсутствуют или их работа равна нулю, то полная механическая энергия материальной точки, сохраняется.

Это утверждение -  закон сохранения полной механической энергии материальной точки.

Пример 17

На заснеженном склоне с углом наклона `alpha` к горизонту коэффициент трения скольжения лыжника на высотах меньших `h` равен `mu_1 (mu_1 >  bbb"tg"  alpha)`, на больших высотах коэффициент трения скольжения лыжника равен `mu_2 (mu_2 < bbb"tg"  alpha)`. С какой высоты `H` следует стартовать лыжнику с нулевой начальной скоростью, чтобы доехать до основания склона с нулевой конечной скоростью?

Решение

По условию `mu_2 < bbb"tg"  alpha`, `mu_1 > bbb"tg" alpha`. Тогда при спуске лыжника на верхнем участке склона `F_(sf"тр"2) = mu_2 mg cos alpha < mg sin alpha`, лыжник движется равноускорено. На нижнем участке склона

`F_(sf"тр"1) = mu_1 mg cos alpha > mg sin alpha`,

лыжник движется равнозамедленно. При движении лыжника по склону от старта до финиша:

приращение потенциальной энергии, отсчитанной от нуля у основания склона, равно П2-П1=-mgHП_2-П_1=-mgH,

приращение кинетической энергии  `K_2 - K_1 = 0`, работа силы трения скольжения

`A_12 =- mu_2 mg cos alpha * (H - h)/(sin alpha) - mu_1 mg cos alpha h/(sin alpha) =- (mg)/(bbb"tg"  alpha) (mu_2 H + (mu_1 - mu_2) h)`.

По теореме об изменении полной механической энергии

K2+П2-K1+П1=A12\left(K_2+П_2\right)-\left(K_1+П_1\right)=A_{12}.

В рассматриваемом случае `- mgH =- (mg)/(bbb"tg"  alpha) (mu_2 H + (mu_1 - mu_2 )h)`.

Отсюда `H = (mu_1 - mu_2)/(bbb"tg"  alpha - mu_2) h`.