Математика 10 класс 10-М-5

II. Тригонометрические уравнения

Чтобы решить тригонометрическое уравнение надо путём тригонометрических преобразований свести его к простейшему тригонометрическому уравнению. Напомним формулы решений простейших тригонометрических уравнений.

Формулы

1)  `sinx=a`. Если `|a|>1`,  решений нет. Если `|a|<=1`, то `x=(-1)^n arcsina+pin,ninZ`.  Последнюю формулу можно записать и так:

x=arcsina+2πk,kZn=2k,-arcsina+π2k+1,kZn=2k+1.x=\left[\begin{array}{l}\arcsin a+2\pi k,k\in Z\left(n=2k\right),\\-\arcsin a+\pi\left(2k+1\right),k\in Z\left(n=2k+1\right).\end{array}\right.

2)  `cosx=a`.Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a|<=1`, то `x=+-arccosa+2pin,ninZ`.

3)  `"tg"x=a`. При любом `a`  будет `x="arctg"a+pin,ninZ`.

4)  `"ctg"x=a`. При любом `a`  будет `x="arcctg"a+pin,ninZ`.

Отметим несколько частных случаев простейших тригонометрических уравнений, в которых ответ можно записать более просто, чем по общим формулам.

     а)  `sinx=1`; тогда `x=pi/2+2pin,ninZ`;

     б)  `sinx=-1`; тогда `x=-pi/2+2pin,ninZ`;

     в)  `cosx=0`; тогда `x=pi/2+pin,ninZ`;

     г)  `cosx=-1`; тогда `x=pi+2pin,ninZ`.

Рассмотрим несколько основных способов решения тригонометрических уравнений.

1. Разложение на множители

Пример 15

Решить уравнение `5sin2x+5cosx-8sinx-4=0`.

Решение

Используя формулу `sin2x=2sinxcosx`, преобразуем данное уравнение:

`10sinx*cosx+5cosx-8sinx-4=0`,

`5cosx(2sinx+1)-4(2sinx+1)=0`,

`(2sinx+1)(5cosx-4)=0`.

Уравнение распадается на два:

1) `2sinx+1=0`, `sinx=-1/2`, `x=(-1)^(n+1)*pi/6+pin,ninZ`;

2) `5cosx-4=0`, `cosx=4/5`, `x=+-arccos  4/5+2pin,ninZ`.


Ответ

`x=(-1)^(n+1)*pi/6+pin,ninZ`; `x=+-arccos  4/5+2pin,ninZ`.


Отметим, что в сериях решений 1) и 2) не было бы ошибкой использовать разные буквы (например, `n` или `m`), т. к. идёт перечисление решений.


Пример 16

Решить уравнение `cos(2x-pi/3)+sin3x=0`.

Решение

Перепишем уравнение, используя формулу приведения  

`sinalpha=cos(pi/2-alpha):  cos(2x-pi/3)+cos(pi/2-3x)=0`.

Далее применим формулу преобразования суммы в произведение. Получим:

`2cos  (2x-pi/3+pi/2-3x)/2 cos  (2x-pi/3-pi/2+3x)/2=0`.

1) `cos  (pi/6-x)/2=0`; `cos  (x-pi/6)/2=0`;  `(x-pi/6)/2=pi/2+pin,ninZ`;

`x=pi/6+pi+2pin,ninZ`;  `x=(7pi)/6+2pin,ninZ`.

2)  `cos  (5x-(5pi)/6)/2=0`;  `(5x-(5pi)/6)/2=pi/2+pin,ninZ`;

`5x=(5pi)/6+pi+2pi,ninZ`; `x=pi/6+pi/5+(2pin)/5,ninZ`; `x=(11pi)/30+(2pin)/5,ninZ`.


Ответ

`x=(7pi)/6+2pin,ninZ`;  `x=(11pi)/30+(2pin)/5,ninZ`.

2. Сведение уравнения к алгебраическому от одного переменного

Пример 17

Решить уравнение `cos2x+cosx+1=0`.

Решение

Воспользуемся формулой двойного угла:  `cos2x=2cos^2x-1`.

Тогда уравнение перепишется:  

`2cos^2x+cosx=0`;  `cosx(2cosx+1)=0`.

1) `cosx=0`;  `x=pi/2+pin,ninZ`;

2) `cosx=-1/2`;  `x=+-(2pi)/3+2pin,ninZ`.

Ответ

`x=pi/2+pin,ninZ`;  `x=+-(2pi)/3+2pin,ninZ`.


Выделим

3. Однородные уравнения

(хотя формально эти уравнения можно отнести к предыдущему типу).

Пример 18

Решить уравнение `sin2x-2cos2x=0`.

Решение

Это однородное уравнение 1-го порядка. `cos2x!=0` (иначе из нашего уравнения следовало бы, что и `sin2x=0`, что противоречит основному тригонометрическому тождеству: `cos^2 2x+sin^2 2x=1`). Делим уравнение на `cos2x`. Получаем `"tg"2x=2`.

Отсюда `2x="arctg"2+pin,ninZ`;  `x=1/2"arctg"2+(pin)/2,ninZ`.


Ответ

`x=1/2"arctg"2+(pin)/2,ninZ`.

Пример 19

Решить уравнение `sin^2x+sinxcosx-2cos^2x=0`.

Решение

Это однородное уравнение 2 степени. Так как `cosx!=0` (рассуждение, как в предыдущем примере), то делим уравнение на `cos^2x`. Получаем: `"tg"^2x+"tg"x-2=0`. Отсюда `"tg"x=1` или `"tg"x=-2`. И `x=pi/4+pin,ninZ`, или

`x=-"arctg"2+pin,ninZ`.


Ответ

`x=pi/4+pin,ninZ`;  `x=-"arctg"2+pin,ninZ`.

Пример 20

Решить уравнение `3sin^2x+sinxcosx=1`.

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: `1=sin^2x+cos^2x`. 

Преобразуем наше уравнение к однородному 2-го порядка:

`3sin^2x+sinxcosx=sin^2x+cos^2x` .    или

`2sin^2x+sinxcosx-cos^2x=0`,

т. к.  `cosx!=0`, то делим последнее уравнение на `cos^2x`. Получаем: `2"tg"^2x+"tg"x-1=0`. `"tg"x=-1` или `"tg"x=1/2`.  Значит,

`x=-pi/4+pin,ninZ`, или `x="arctg"1/2+pin,ninZ`.

Ответ

`x=-pi/4+pin,ninZ`;  `x="arctg"1/2+pin,ninZ`.

4. Использование формулы дополнительного угла

Пример 21

Решить уравнение `4sinx+3cosx=5`.


Решение

По формуле дополнительного угла преобразуем уравнение:  

`sqrt(16+9)sin(x+varphi)=5`,  `sin(x+varphi)=1`,  `cosvarphi=4/5`, `sinvarphi=3/5`. 

Можно взять, например, `varphi=arcsin  3/5`. Решением последнего уравнения будет

`x+varphi=pi/2+2pin,ninZ`,  или  `x=-varphi+pi/2+2pin,ninZ`.

Ответ

`x=-arcsin  3/5+pi/2+2pin,ninZ`.

Отметим, что последнее уравнение можно решить и сведением его к однородному, если воспользоваться формулами

`sinx=2sin  x/2cos  x/2`,  `cosx=cos^2  x/2-sin^2  x/2`,  `1=sin^2  x/2+cos^2  x/2`. 

Действительно, в этом случае уравнение  `4sinx+3cosx=5` преобразуется к виду:

`8sin  x/2 cos  x/2+3cos^2  x/2-3sin^2  x/2=5sin^2  x/2+5cos^2  x/2` .   или

`8sin^2  x/2-8sin  x/2  cos  x/2+2cos^2  x/2=0`.

 Т. к.  `cos  x/2!=0`, то разделив последнее уравнение на `2cos^2  x/2`, получим уравнение `4"tg"^2  x/2-4"tg"  x/2+1=0` или `(2"tg"  x/2-1)^2=0`. Откуда, `"tg"  x/2=1/2`. Тогда `x/2="arctg"  1/2 +pin,ninZ`, или `x=2"arctg"  1/2+2pin,ninZ`.

Мы получили ответ в другой форме, но множество решений уравнения, естественно, то же.

Пример 22

Решить уравнение `sinx-2sin2x=cosx+1`.

Решение

Перепишем уравнение  `2sin2x-(sinx-cosx)+1=0` и сделаем замену `t=sinx-cosx`.

Так как `t^2=sin^2x-2sinxcosx+cos^2x=1-sin2x`, то `sin2x=1-t^2`.

Тогда наше уравнение запишется так: `2(1-t^2)-t+1=0` или `2t^2+t-3=0`.

Отсюда `t_1=1`,  `t_2=-3/2`.

По формуле дополнительного угла `t=sinx-cosx=sqrt2sin(x-pi/4)`.

1) `t_1=1`,  `sin(x-pi/4)=1/(sqrt2)`,  `x=pi/4+(-1)^npi/4+pin,ninZ`.

2) `t_2=-3/2`,  `sin(x-pi/4)=-3/(2sqrt2)`.  Так как `-3/(2sqrt2)< -1`, то последнее уравнение не имеет решений.


Ответ

`x=pi/4+(-1)^npi/4+pin,ninZ`.

Отметим, что подобным образом решаются уравнения `F(sin2x, sinx+-cosx)=0`. Замена `t=sinx+-cosx`.

Наконец, рассмотрим несколько несложных примеров, где приходится делать отбор корней (в 11 классе будут и сложные примеры на эти темы).

5. Рациональные тригонометрические уравнения

Пример 23

Решить уравнение `(cos3x)/(sin2x)=(cos5x)/(sin2x)`.


Решение

Это уравнение равносильно каждому, из следующих уравнений:  

`(cos3x-cos5x)/(sin2x)=0`,  `(sin4x*sinx)/(sin2x)=0`.

Так как `sin4x=2sin2x*cos2x`, а ОДЗ уравнения определяется условием `sin2x!=0`, то `sinx!=0`, и исходное уравнение равносильно уравнению  `cos2x=0`. Тогда `2x=pi/2+pin,ninZ`,  и . `x=pi/4+(pin)/2,ninZ`.


Ответ

`x=pi/4+(pin)/2,ninZ`.


6. Тригонометрические уравнения с корнем

Пример 24

Решить уравнение `sqrt(cosx+cos3x)=-sqrt2cosx`.

Решение

Это уравнение равносильно системе

cosx+cos3x=2cos2x,cosx0.\left\{\begin{array}{l}\cos x+\cos3x=2\cos^2x,\\\cos x\leq0.\end{array}\right.

Неравенство должно выполняться, т. к. правая часть исходного уравнения равна квадратному корню, а он неотрицательный. В то же время отметим, что в системе не надо указывать, что подкоренное выражение в левой части уравнения неотрицательно, т. к. в  системе оно равно квадрату правой части уравнения. Преобразуем уравнение системы: `2cos2x*cosx=2cos^2x` или `cosx(cos2x-cosx)=0`. Отсюда или `cosx=0` (неравенство системы удовлетворяется) и `x=pi/2+pin,ninZ`. Или же `cos2x-cosx=0`, `2cos^2x-cosx-1=0`. Решениями последнего уравнения являются `cosx=1` (что не удовлетворяет неравенству системы) и `cosx=-1/2` (неравенство системы выполняется). Итак, в этом случае `x=+-(2pi)/3+2pin,ninZ`.


Ответ

`x=pi/2+pin,ninZ`;  `x=+-(2pi)/3+2pin,ninZ`.

7. Тригонометрические уравнения с модулем

Пример 25

Решить уравнение `cos3x+|cosx|=sin2x`.

Решение

Решение уравнения сводится к объединению решений двух систем.

1) cosx0,cos3x+cosx=sin2x\left\{\begin{array}{l}\cos x\geq0,\\\cos3x+\cos x=\sin2x\end{array}\right. и  

2) cosx<0,cos3x-cosx=sin2x.\left\{\begin{array}{l}\cos x<0,\\\cos3x-\cos x=\sin2x.\end{array}\right.

а) Решаем первую систему. Её уравнение преобразуем к виду  

`2cos2x*cosx=2sinxcosx`  или  `cosx(cosx2x-sinx)=0`,   или

`cosx(2sin^2x+sinx-1)=0`.  

`cosx=0`  удовлетворяет неравенству системы, т. е.  `x=pi/2+pin,ninZ`, решения системы.  Решая уравнение `2sin^2x+sinx-1=0`, находим `sinx=-1` (но тогда  `cosx=0`, эти корни мы уже получили) или `sinx=1/2`. С учётом `cosx>=0`, получаем  `x=pi/6+2pin,ninZ`,  (см. рис. 1).

               

 б) Решаем вторую систему. Её уравнение преобразуем к виду

`-2sin2xsinx=sin2x`  или  `sin2x(2sinx+1)=0`.

Если `sin2x=0`, то `2x=pin,ninZ`;  `x=(pin)/2,ninZ` (рис. 2).

В силу неравенства `cosx<0` из  4-х точек на тригонометрическом круге системе удовлетворяет только одна. Итак, `x=pi+2pin,ninZ`.

Если  же  `sinx=-1/2` (рис. 3),  то  учитывая неравенство `cosx<0`, получаем решение системы `x=(7pi)/6+2pin,ninZ`.

Отметим,  что  решения  системы  на рис. 1   и рис. 3 можно записать одной формулой:

`x=pi/6+pin,ninZ`.

Ответ

`x=pi/2+pin,ninZ`;  `x=pi+2pin,ninZ`;  `x=pi/6+pin,ninZ`.


8. Нестандартные уравнения

Пример 26

Решить уравнение `sin^4  2x+cos^2 x=0`.

Решение

Так как оба слагаемых в левой части уравнения неотрицательны, то равенство достигается тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю.

sin2x=2sinxcosx=0cosx=0cosx=0x=π2+πn,nZ.\left\{\begin{array}{l}\sin2x=2\sin x\cos x=0\\\cos x=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac\pi2+\pi n,n\in Z.


Ответ

`x=pi/2+pin,ninZ`.

Пример 27

Решить уравнение  `cos3x*cos2x=1`.

Решение

Перепишем уравнение, перейдя от произведения к сумме: `cos5x+cosx=2`. Так как `cos5x<=1` и `cosx<=1`, то `cos5x+cosx<=2`,  причём, если `cos5x<1` или `cosx<1`, то сумма `cos5x+cosx<2`. Значит, уравнение будет выполняться только в случае  

cos5x=1,cosx=1.\left\{\begin{array}{l}\cos5x=1,\\\cos x=1.\end{array}\right.

Если `cosx=1`, то `x=2pin,ninZ`. В этом случае `cos5x=cos10pin=1` и система выполнена.


Ответ

`x=2pin,ninZ`.


Пример 28

Решить уравнение `sin^8x-cos^5x=1`.

Решение

Преобразуем уравнение

`sin^8x-cos^5x=sin^2x+cos^2x`,  `cos^2x(1+cos^3x)+sin^2x(1-sin^6x)=0`.      (7)


Так как сумма неотрицательных слагаемых равна нулю, то каждое из них должно быть равно нулю. Рассмотрим первое `cos^2x(1+cos^3x)`. Оно равно нулю, если `cosx=0` (в этом случае  `sin^2x=1` и `1-sin^6x=0`, т. е. второе слагаемое в (7) обратится в нуль) или `cosx=-1` (в этом случае `sinx=0` и опять второе слагаемое в (7) обратится в нуль). Итак, должно выполняться `cosx=0` или `cosx=-1`, и значит, `x=pi/2+pin,ninZ`,  или  `x=pi+2pin,ninZ`.  


Ответ

`x=pi/2+pin,ninZ`;  `x=pi+2pin,ninZ`.  

9. Уравнения с параметром

Пример 29

Найти все значения параметра `a`, при которых уравнение

`cos2x+4acosx+2a^2+1=0`

не имеет решений.

Решение

Преобразуем уравнение:

`2cos^2x-1+4acosx+2a^2+1=0`,

`cos^2x+2acosx+a^2=0`,  `(cosx+a)^2=0`.

Итак, уравнение свелось к  `cosx=-a`. Оно не имеет решений, если `|a|>1`.


Ответ

`ain(-oo;-1)uu(1;oo)`.

Пример 30

При каких значениях параметра `a` уравнение `3sin2x-4cos2x=a` имеет решения?


Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу дополнительного угла:

`5sin(2x-varphi)=a`,  где . `cosvarphi=3/5`,  `sinvarphi=4/5`. 

Отсюда  `sin(2x-varphi)=a/5`.  Это уравнение имеет решения при `|a/5|<=1`.  


Ответ

`ain[-5;5]`.


Пример 31

Найти все значения `a`, при которых уравнение

`sin^2x+(3-2a)sinx-6a=0`

 имеет корни, и решить это уравнение.


Решение

Разложив левую часть уравнения на множители, запишем уравнение в виде `(sinx-2a)(sinx+3)=0`. Так как уравнение `sinx+3=0` не имеет корней, то исходное уравнение, равносильное уравнению `sinx=2a`, имеет корни тогда и только тогда, когда `|2a|<=1`, т. е. `-1/2<=a<=1/2`. Эти корни определяются по формуле

`x=(-1)^narcsin2a+pin,ninZ`.


Ответ

`-1/2<=a<=1/2`;  `x=(-1)^narcsin2a+pin,ninZ`.